Номер 707, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

707. Подберите одну из возможных формул $n$-го члена последовательности, первыми членами которой являются числа:

1) 2, 9, 28, 65, 126, ...;

2) $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{12}$, $\frac{1}{20}$, $\frac{1}{30}$, ...

1) Дана последовательность: 2, 9, 28, 65, 126, ...

Обозначим n-й член последовательности как $a_n$, где $n$ — натуральное число ($n=1, 2, 3, ...$). Попытаемся найти закономерность, связав значение члена последовательности с его номером $n$. Часто такие последовательности связаны со степенями чисел $n$.

Рассмотрим значения для первых нескольких членов и сравним их с кубами их номеров:

• При $n=1$, $a_1=2$. Сравним с $1^3=1$. Видим, что $a_1 = 1^3 + 1$.
• При $n=2$, $a_2=9$. Сравним с $2^3=8$. Видим, что $a_2 = 2^3 + 1$.
• При $n=3$, $a_3=28$. Сравним с $3^3=27$. Видим, что $a_3 = 3^3 + 1$.
• При $n=4$, $a_4=65$. Сравним с $4^3=64$. Видим, что $a_4 = 4^3 + 1$.
• При $n=5$, $a_5=126$. Сравним с $5^3=125$. Видим, что $a_5 = 5^3 + 1$.

Наблюдается четкая закономерность: каждый член последовательности равен кубу его номера, сложенному с единицей. Таким образом, одна из возможных формул для n-го члена последовательности:

$a_n = n^3 + 1$

Ответ: $a_n = n^3 + 1$

2) Дана последовательность: $\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}, \ldots$.

Обозначим n-й член последовательности как $b_n$. Все члены последовательности — это дроби с числителем 1. Это значит, что формула n-го члена будет иметь вид $b_n = \frac{1}{c_n}$, где $c_n$ — это последовательность знаменателей.

Рассмотрим последовательность знаменателей $c_n$: 2, 6, 12, 20, 30, ...

Попытаемся найти закономерность для $c_n$. Для этого разложим каждый знаменатель на множители:

• При $n=1$, $c_1=2 = 1 \cdot 2$
• При $n=2$, $c_2=6 = 2 \cdot 3$
• При $n=3$, $c_3=12 = 3 \cdot 4$
• При $n=4$, $c_4=20 = 4 \cdot 5$
• При $n=5$, $c_5=30 = 5 \cdot 6$

Мы видим, что каждый знаменатель $c_n$ является произведением номера члена $n$ и следующего за ним натурального числа $n+1$. Следовательно, формула для последовательности знаменателей:

$c_n = n(n+1)$

Тогда формула n-го члена исходной последовательности дробей будет:

$b_n = \frac{1}{n(n+1)}$

Ответ: $b_n = \frac{1}{n(n+1)}$