Номер 706, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

706. Подберите одну из возможных формул n-го члена последовательности, первыми членами которой являются числа:

1) 1, 4, 9, 25, ...;

2) 5, 8, 11, 14, 17, ...;

3) 0, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{4}{5}$, ...;

4) 0, 2, 0, 2, 0, ....

1) В последовательности $1, 4, 9, 25, \dots$ можно заметить, что первые три члена являются квадратами их порядковых номеров: $a_1 = 1 = 1^2$, $a_2 = 4 = 2^2$, $a_3 = 9 = 3^2$. Наиболее вероятным и простым правилом для этой последовательности является возведение порядкового номера $n$ в квадрат. При таком правиле четвертый член был бы $a_4 = 4^2 = 16$, а пятый $a_5 = 5^2 = 25$. Возможно, в условии задачи пропущен четвертый член или допущена опечатка. Выбирая наиболее простую закономерность, мы получаем формулу n-го члена $a_n = n^2$.

Ответ: $a_n = n^2$.

2) В последовательности $5, 8, 11, 14, 17, \dots$ каждый следующий член больше предыдущего на одно и то же число. Найдем эту разность: $8 - 5 = 3$, $11 - 8 = 3$, $14 - 11 = 3$. Это арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 5$ и разность $d = 3$. Для нахождения формулы n-го члена воспользуемся стандартной формулой арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставив известные значения, получим: $a_n = 5 + (n-1) \cdot 3 = 5 + 3n - 3 = 3n + 2$.

Ответ: $a_n = 3n + 2$.

3) Рассмотрим последовательность $0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots$. Представим первый член в виде дроби $0 = \frac{0}{1}$. Тогда последовательность имеет вид: $\frac{0}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots$. Можно заметить, что для каждого n-го члена последовательности ($a_n$) его числитель равен $n-1$, а знаменатель равен $n$. Таким образом, формула n-го члена имеет вид $a_n = \frac{n-1}{n}$. Проверим для $n=1$: $a_1 = \frac{1-1}{1} = 0$. Для $n=2$: $a_2 = \frac{2-1}{2} = \frac{1}{2}$. Формула верна.

Ответ: $a_n = \frac{n-1}{n}$.

4) В последовательности $0, 2, 0, 2, 0, \dots$ происходит чередование двух чисел. Члены, стоящие на нечетных местах, равны 0, а на четных — 2. Для описания такого чередования удобно использовать выражение $(-1)^n$, которое равно $-1$ для нечетных $n$ и $1$ для четных $n$. Проверим формулу $a_n = 1 + (-1)^n$. Если $n$ — нечетное число, то $a_n = 1 + (-1) = 0$. Если $n$ — четное число, то $a_n = 1 + 1 = 2$. Данная формула полностью описывает последовательность.

Ответ: $a_n = 1 + (-1)^n$.