Страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

14. В справочнике указано, что масса атома натрия равна $3,81 \cdot 10^{-26}$ кг.

С какой точностью указано приближённое значение массы атома натрия?

А) с точностью до $10^{-26}$ кг

Б) с точностью до $10^{-27}$ кг

В) с точностью до $10^{-28}$ кг

Г) с точностью до $10^{-25}$ кг

Приближенное значение массы атома натрия представлено в стандартном виде: $m \approx 3,81 \cdot 10^{-26}$ кг. Число в стандартном виде записывается как $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ является мантиссой, а $n$ — целым числом, называемым порядком.

Точность такого значения определяется по последней значащей цифре мантиссы. В данном случае мантисса равна $3,81$. Последняя значащая цифра — '1', и она находится в разряде сотых. Это означает, что мантисса указана с точностью до $0,01$.

Чтобы найти, с какой точностью указано все число, необходимо умножить точность мантиссы на степенную часть ($10^n$):

Точность $= 0,01 \cdot 10^{-26}$ кг

Поскольку $0,01 = 10^{-2}$, мы можем выполнить вычисление:

Точность $= 10^{-2} \cdot 10^{-26} = 10^{-2 + (-26)} = 10^{-28}$ кг.

Таким образом, значение массы атома натрия указано с точностью до $10^{-28}$ кг. Этот результат соответствует варианту В).

Ответ: В) с точностью до $10^{-28}$ кг.

15. В справочнике указано, что плотность никеля равна 8,9 $ \text{г} / \text{см}^3 $. Оцените относительную погрешность этого приближения.

А) до 2 %

Б) до 1,1 %

В) до 1,2 %

Г) до 0,1 %

Для оценки относительной погрешности приближенного значения необходимо сначала определить абсолютную погрешность, а затем найти ее отношение к самому значению.

1. Определение абсолютной погрешности ($ \Delta\rho $).

В справочнике плотность никеля указана как $ \rho_{approx} = 8,9 \text{ г/см}^3 $. Это значение представлено с точностью до одного знака после запятой. Абсолютную погрешность для таких значений можно оценивать по-разному, но в контексте тестовых заданий часто принимают, что она равна единице последнего разряда.

В данном случае последний разряд — десятые, поэтому мы принимаем абсолютную погрешность равной $ \Delta\rho = 0,1 \text{ г/см}^3 $. Эта оценка предполагает, что истинное значение плотности может отличаться от приближенного на величину до $ 0,1 \text{ г/см}^3 $.

(Примечание: по другому правилу, используемому при округлении, абсолютная погрешность равна половине единицы последнего разряда, то есть $ \Delta\rho = 0,05 \text{ г/см}^3 $. Это привело бы к относительной погрешности около $ 0,56\% $, что не соответствует предложенным вариантам ответов так хорошо, как первый метод).

2. Расчет относительной погрешности ($ \epsilon $).

Относительная погрешность вычисляется по формуле:

$ \epsilon = \frac{\Delta\rho}{|\rho_{approx}|} $

Подставим наши значения:

$ \epsilon = \frac{0,1}{8,9} $

Выполним деление:

$ \epsilon = \frac{1}{89} \approx 0,0112359... $

3. Выражение относительной погрешности в процентах.

Чтобы перевести полученное значение в проценты, умножим его на 100%:

$ \epsilon \% = \epsilon \times 100\% \approx 0,0112359... \times 100\% \approx 1,124\% $

4. Сравнение с вариантами ответов.

Полученная нами оценка относительной погрешности составляет примерно $ 1,124\% $. Теперь сравним это значение с предложенными вариантами:

• А) до 2 % — Верно, так как $ 1,124\% < 2\% $.
• Б) до 1,1 % — Неверно, так как $ 1,124\% > 1,1\% $.
• В) до 1,2 % — Верно, так как $ 1,124\% < 1,2\% $.
• Г) до 0,1 % — Неверно, так как $ 1,124\% > 0,1\% $.

Из двух верных вариантов (А и В) следует выбрать тот, который дает наиболее точную (наименьшую) верхнюю границу. Вариант В "до 1,2 %" является более точной оценкой, чем вариант А "до 2 %". Следовательно, он является наилучшим ответом.

Ответ: В) до 1,2 %

16. Найдите среднее значение выборки, состоящей из чисел 1,6; 1,8; 2,5; 2,2; 0,9.

А) 2,5

Б) 2,2

В) 1,8

Г) 2,6

Среднее значение выборки (или среднее арифметическое) вычисляется как сумма всех чисел в выборке, деленная на их количество.

Данная выборка состоит из следующих чисел: 1,6; 1,8; 2,5; 2,2; 0,9.

1. Найдем количество чисел в выборке. Всего в выборке 5 чисел.

2. Найдем сумму всех чисел в выборке: $1,6 + 1,8 + 2,5 + 2,2 + 0,9 = 9,0$

3. Разделим сумму на количество чисел, чтобы найти среднее значение: $\text{Среднее значение} = \frac{\text{Сумма чисел}}{\text{Количество чисел}} = \frac{9}{5} = 1,8$

Таким образом, среднее значение данной выборки равно 1,8. Этот результат соответствует варианту В).

Ответ: 1,8

17. Укажите медиану выборки $2, 5, 6, 8, 9, 11$.

А) 6

Б) 7

В) 8

Г) 9

Медианой числового набора (выборки) называется число, которое находится в середине этого набора, если его упорядочить по возрастанию или убыванию.

1. Первым шагом упорядочим данную выборку по возрастанию. Исходная выборка 2, 5, 6, 8, 9, 11 уже является упорядоченной.

2. Подсчитаем количество элементов в выборке. В данном наборе 6 чисел.

3. Поскольку количество элементов в выборке четное ($n=6$), медиана находится как среднее арифметическое двух чисел, стоящих в середине. В нашем случае это 3-й и 4-й элементы.

Упорядоченная выборка: 2, 5, 6, 8, 9, 11.

Третий элемент равен 6, а четвертый — 8.

4. Вычислим среднее арифметическое этих двух центральных элементов:

$ \text{Медиана} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7 $

Таким образом, медиана данной выборки равна 7. Сравнивая с предложенными вариантами, мы видим, что это ответ Б).

Ответ: Б) 7

18. Учащихся 9 класса опросили, сколько времени они затрачивают на выполнение домашнего задания по алгебре. Были получены такие данные:

Чему равна мода полученных данных?

A) 30 мин

Б) 45 мин

В) 10 учащихся

Г) 6 учащихся

Чтобы ответить на вопрос, необходимо найти моду представленного набора данных. В статистике мода — это значение в наборе данных, которое встречается наиболее часто.

В таблице указано, сколько учащихся тратят определенное время на выполнение домашнего задания по алгебре:

• 15 минут — 3 учащихся.
• 20 минут — 7 учащихся.
• 30 минут — 6 учащихся.
• 45 минут — 10 учащихся.
• 60 минут — 4 учащихся.

«Количество учащихся» представляет собой частоту, с которой встречается каждое значение «Времени выполнения задания». Чтобы найти моду, нужно найти значение времени, которому соответствует наибольшая частота.

Наибольшее количество учащихся (самая высокая частота) — это 10. Этому количеству соответствует время 45 минут. Следовательно, мода данного ряда данных равна 45 минутам.

Проанализируем предложенные варианты:

А) 30 мин
Неверно. Время 30 минут выбрали 6 учащихся, что не является наибольшим числом.

Б) 45 мин
Верно. Время 45 минут выбрало наибольшее число учащихся — 10.

В) 10 учащихся
Неверно. 10 — это наибольшая частота, но мода — это само значение измеряемой величины (в данном случае, время), а не количество раз, которое оно встретилось.

Г) 6 учащихся
Неверно. 6 — это частота, соответствующая времени 30 минут, и она не является максимальной.

Ответ: Б) 45 мин