Номер 15, страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

15. В справочнике указано, что плотность никеля равна 8,9 $ \text{г} / \text{см}^3 $. Оцените относительную погрешность этого приближения.

А) до 2 %

Б) до 1,1 %

В) до 1,2 %

Г) до 0,1 %

Для оценки относительной погрешности приближенного значения необходимо сначала определить абсолютную погрешность, а затем найти ее отношение к самому значению.

1. Определение абсолютной погрешности ($ \Delta\rho $).

В справочнике плотность никеля указана как $ \rho_{approx} = 8,9 \text{ г/см}^3 $. Это значение представлено с точностью до одного знака после запятой. Абсолютную погрешность для таких значений можно оценивать по-разному, но в контексте тестовых заданий часто принимают, что она равна единице последнего разряда.

В данном случае последний разряд — десятые, поэтому мы принимаем абсолютную погрешность равной $ \Delta\rho = 0,1 \text{ г/см}^3 $. Эта оценка предполагает, что истинное значение плотности может отличаться от приближенного на величину до $ 0,1 \text{ г/см}^3 $.

(Примечание: по другому правилу, используемому при округлении, абсолютная погрешность равна половине единицы последнего разряда, то есть $ \Delta\rho = 0,05 \text{ г/см}^3 $. Это привело бы к относительной погрешности около $ 0,56\% $, что не соответствует предложенным вариантам ответов так хорошо, как первый метод).

2. Расчет относительной погрешности ($ \epsilon $).

Относительная погрешность вычисляется по формуле:

$ \epsilon = \frac{\Delta\rho}{|\rho_{approx}|} $

Подставим наши значения:

$ \epsilon = \frac{0,1}{8,9} $

Выполним деление:

$ \epsilon = \frac{1}{89} \approx 0,0112359... $

3. Выражение относительной погрешности в процентах.

Чтобы перевести полученное значение в проценты, умножим его на 100%:

$ \epsilon \% = \epsilon \times 100\% \approx 0,0112359... \times 100\% \approx 1,124\% $

4. Сравнение с вариантами ответов.

Полученная нами оценка относительной погрешности составляет примерно $ 1,124\% $. Теперь сравним это значение с предложенными вариантами:

• А) до 2 % — Верно, так как $ 1,124\% < 2\% $.
• Б) до 1,1 % — Неверно, так как $ 1,124\% > 1,1\% $.
• В) до 1,2 % — Верно, так как $ 1,124\% < 1,2\% $.
• Г) до 0,1 % — Неверно, так как $ 1,124\% > 0,1\% $.

Из двух верных вариантов (А и В) следует выбрать тот, который дает наиболее точную (наименьшую) верхнюю границу. Вариант В "до 1,2 %" является более точной оценкой, чем вариант А "до 2 %". Следовательно, он является наилучшим ответом.

Ответ: В) до 1,2 %