Страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Катер проплыл по озеру на 5 км больше, чем по реке против течения, затратив на путь по реке на 15 мин больше, чем по озеру. Собственная скорость катера равна 10 км/ч, а скорость течения реки – 2 км/ч.

Пусть расстояние, которое проплыл катер по реке, равно x км. Какое из данных уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?

А) $ \frac{x+5}{10} - \frac{x}{8} = 15 $

В) $ \frac{x+5}{10} - \frac{x}{12} = 15 $

Б) $ \frac{x+5}{10} - \frac{x}{8} = \frac{1}{4} $

Г) $ \frac{x+5}{10} - \frac{x}{12} = \frac{1}{4} $

Для решения задачи необходимо составить уравнение, описывающее данную ситуацию, и сравнить его с предложенными вариантами.

1. Определим расстояния.По условию, расстояние, которое катер проплыл по реке, равно $x$ км. Расстояние, которое он проплыл по озеру, на 5 км больше, то есть $x + 5$ км.

• Расстояние по реке: $S_{река} = x$ км.
• Расстояние по озеру: $S_{озеро} = x + 5$ км.

2. Определим скорости.Собственная скорость катера (скорость в стоячей воде, например, в озере) равна $10$ км/ч. Скорость течения реки — $2$ км/ч.

• Скорость катера по озеру равна его собственной скорости: $v_{озеро} = 10$ км/ч.
• Скорость катера против течения реки равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против.теч} = 10 - 2 = 8$ км/ч.

3. Выразим время движения.Время находится по формуле $t = \frac{S}{v}$.

• Время движения по озеру: $t_{озеро} = \frac{S_{озеро}}{v_{озеро}} = \frac{x+5}{10}$ ч.
• Время движения по реке: $t_{река} = \frac{S_{река}}{v_{против.теч}} = \frac{x}{8}$ ч.

4. Составим уравнение.По условию, на путь по реке катер затратил на 15 минут больше, чем на путь по озеру. Это значит, что $t_{река}$ больше, чем $t_{озеро}$ на 15 минут.

Сначала переведем 15 минут в часы, чтобы единицы измерения были согласованы:$15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4}$ ч.

Теперь запишем равенство:$t_{река} - t_{озеро} = \frac{1}{4}$

Подставим полученные выражения для времени:$\frac{x}{8} - \frac{x+5}{10} = \frac{1}{4}$

5. Сравним с предложенными вариантами.Теперь посмотрим на предложенные уравнения.

А) $\frac{x+5}{10} - \frac{x}{8} = 15$. Это уравнение неверно. Во-первых, оно представляет разность $t_{озеро} - t_{река}$, которая должна быть отрицательной. Во-вторых, разница во времени указана в минутах (15), а не в часах.

Б) $\frac{x+5}{10} - \frac{x}{8} = \frac{1}{4}$. Это уравнение также не соответствует нашему выводу. Левая часть $t_{озеро} - t_{река}$ должна быть равна $-\frac{1}{4}$, а не $\frac{1}{4}$. Однако, если предположить, что в условии задачи или в вариантах ответа допущена опечатка и члены в левой части уравнения переставлены местами, то этот вариант содержит все правильные числовые компоненты: верные скорости ($8$ км/ч и $10$ км/ч) и корректно переведенное в часы время ($\frac{1}{4}$ ч).

В) $\frac{x+5}{10} - \frac{x}{12} = 15$. Это уравнение неверно, так как скорость против течения составляет $8$ км/ч, а не $12$ км/ч. Кроме того, время указано в минутах.

Г) $\frac{x+5}{10} - \frac{x}{12} = \frac{1}{4}$. Это уравнение неверно, так как используется неправильная скорость против течения ($12$ км/ч вместо $8$ км/ч).

Среди всех вариантов, вариант Б является наиболее правдоподобным, несмотря на ошибку в порядке вычитания. Он единственный использует правильные значения для скоростей и времени. Таким образом, он является искомой математической моделью с допущением опечатки.

Ответ: Б

2. Первый рабочий трудился 3 ч, а второй – 4 ч. Вместе они изготовили 44 детали, причём первый рабочий изготавливал за 1 ч на 2 детали меньше, чем второй рабочий за 2 ч.

Пусть первый рабочий за 1 ч изготавливал $x$ деталей, а второй – $y$ деталей. Какая из данных систем уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?

А) $\begin{cases} 3x + 4y = 44, \\ 2x - y = 2 \end{cases}$

Б) $\begin{cases} 3x + 4y = 44, \\ y - 2x = 2 \end{cases}$

В) $\begin{cases} 3x + 4y = 44, \\ x - 2y = 2 \end{cases}$

Г) $\begin{cases} 3x + 4y = 44, \\ 2y - x = 2 \end{cases}$

Для решения задачи необходимо составить систему из двух линейных уравнений с двумя переменными, основываясь на условиях, данных в тексте. Давайте разберем каждое условие по отдельности.

В задаче дано:

• $x$ — количество деталей, которое первый рабочий изготавливает за 1 час.
• $y$ — количество деталей, которое второй рабочий изготавливает за 1 час.

1. Составление первого уравнения.

Первое условие: "Первый рабочий трудился 3 ч, а второй — 4 ч. Вместе они изготовили 44 детали".

За 3 часа первый рабочий изготовит $3 \cdot x$ деталей. За 4 часа второй рабочий изготовит $4 \cdot y$ деталей. Их совместная работа описывается суммой изготовленных деталей, которая равна 44. Отсюда получаем первое уравнение:

$3x + 4y = 44$

2. Составление второго уравнения.

Второе условие: "...первый рабочий изготавливал за 1 ч на 2 детали меньше, чем второй рабочий за 2 ч".

Количество деталей, изготовленных первым рабочим за 1 час, равно $x$.

Количество деталей, изготовленных вторым рабочим за 2 часа, равно $2 \cdot y$.

Поскольку первый рабочий сделал на 2 детали меньше, это означает, что разница между количеством деталей, изготовленных вторым рабочим за 2 часа, и количеством деталей, изготовленных первым за 1 час, равна 2. Это можно записать в виде уравнения:

$2y - x = 2$

3. Формирование системы и выбор правильного ответа.

Объединив оба уравнения, мы получим систему, которая является математической моделью данной ситуации:

$\begin{cases} 3x + 4y = 44 \\ 2y - x = 2 \end{cases}$

Теперь сравним полученную систему с предложенными вариантами:

• А) $\begin{cases} 3x + 4y = 44, \\ 2x - y = 2 \end{cases}$ — Второе уравнение неверно.
• Б) $\begin{cases} 3x + 4y = 44, \\ y - 2x = 2 \end{cases}$ — Второе уравнение неверно.
• В) $\begin{cases} 3x + 4y = 44, \\ x - 2y = 2 \end{cases}$ — Второе уравнение неверно (оно бы означало, что первый рабочий делает на 2 детали больше).
• Г) $\begin{cases} 3x + 4y = 44, \\ 2y - x = 2 \end{cases}$ — Эта система полностью совпадает с той, что мы составили.

Таким образом, правильный вариант — Г.

Ответ: Г

3. Два тракториста, работая вместе, могут вспахать поле за 2 ч 40 мин. Если первый тракторист проработает 1 ч, а потом его сменит второй тракторист, который проработает 2 ч, то вспаханной окажется половина поля.

Пусть первый тракторист может самостоятельно вспахать поле за x ч, а второй – за y ч. Какая из данных систем уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?

А) $ \begin{cases} x + y = 2,4, \\ x + 2y = 0,5 \end{cases} $

Б) $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{8}{3}, \\ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{2} \end{cases} $

В) $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{8}, \\ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{2} \end{cases} $

Г) $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2\frac{2}{3}, \\ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{2} \end{cases} $

Для составления математической модели данной задачи, примем всю работу по вспашке поля за 1.

Пусть первый тракторист может самостоятельно вспахать все поле за $x$ часов, а второй — за $y$ часов.

Тогда производительность труда (часть поля, вспахиваемая за 1 час) первого тракториста равна $\frac{1}{x}$, а производительность второго тракториста — $\frac{1}{y}$.

Составим первое уравнение на основе первого условия: "Два тракториста, работая вместе, могут вспахать поле за 2 ч 40 мин".

Сначала переведем время работы в часы. 40 минут — это $\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ часа. Таким образом, общее время работы составляет $2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ часа.

При совместной работе их производительности складываются, поэтому их общая производительность составляет $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$.

Используя формулу "Работа = Производительность × Время", получаем:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot \frac{8}{3} = 1$.

Чтобы получить уравнение в стандартном для систем виде, выразим сумму производительностей:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \div \frac{8}{3} = \frac{3}{8}$.

Составим второе уравнение на основе второго условия: "Если первый тракторист проработает 1 ч, а потом его сменит второй тракторист, который проработает 2 ч, то вспаханной окажется половина поля".

За 1 час первый тракторист выполнит $\frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x}$ часть работы.

За 2 часа второй тракторист выполнит $\frac{1}{y} \cdot 2 = \frac{2}{y}$ часть работы.

В сумме они выполнят половину работы, то есть $\frac{1}{2}$. Отсюда второе уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{2}$.

Итоговая система уравнений.

Объединив полученные уравнения, мы получаем математическую модель ситуации: $$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{8} \\ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{2} \end{cases} $$

Данная система уравнений в точности соответствует системе, представленной в варианте В.

Ответ: В.