Номер 1, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Катер проплыл по озеру на 5 км больше, чем по реке против течения, затратив на путь по реке на 15 мин больше, чем по озеру. Собственная скорость катера равна 10 км/ч, а скорость течения реки – 2 км/ч.

Пусть расстояние, которое проплыл катер по реке, равно x км. Какое из данных уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?

А) $ \frac{x+5}{10} - \frac{x}{8} = 15 $

В) $ \frac{x+5}{10} - \frac{x}{12} = 15 $

Б) $ \frac{x+5}{10} - \frac{x}{8} = \frac{1}{4} $

Г) $ \frac{x+5}{10} - \frac{x}{12} = \frac{1}{4} $

Для решения задачи необходимо составить уравнение, описывающее данную ситуацию, и сравнить его с предложенными вариантами.

1. Определим расстояния.По условию, расстояние, которое катер проплыл по реке, равно $x$ км. Расстояние, которое он проплыл по озеру, на 5 км больше, то есть $x + 5$ км.

• Расстояние по реке: $S_{река} = x$ км.
• Расстояние по озеру: $S_{озеро} = x + 5$ км.

2. Определим скорости.Собственная скорость катера (скорость в стоячей воде, например, в озере) равна $10$ км/ч. Скорость течения реки — $2$ км/ч.

• Скорость катера по озеру равна его собственной скорости: $v_{озеро} = 10$ км/ч.
• Скорость катера против течения реки равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против.теч} = 10 - 2 = 8$ км/ч.

3. Выразим время движения.Время находится по формуле $t = \frac{S}{v}$.

• Время движения по озеру: $t_{озеро} = \frac{S_{озеро}}{v_{озеро}} = \frac{x+5}{10}$ ч.
• Время движения по реке: $t_{река} = \frac{S_{река}}{v_{против.теч}} = \frac{x}{8}$ ч.

4. Составим уравнение.По условию, на путь по реке катер затратил на 15 минут больше, чем на путь по озеру. Это значит, что $t_{река}$ больше, чем $t_{озеро}$ на 15 минут.

Сначала переведем 15 минут в часы, чтобы единицы измерения были согласованы:$15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4}$ ч.

Теперь запишем равенство:$t_{река} - t_{озеро} = \frac{1}{4}$

Подставим полученные выражения для времени:$\frac{x}{8} - \frac{x+5}{10} = \frac{1}{4}$

5. Сравним с предложенными вариантами.Теперь посмотрим на предложенные уравнения.

А) $\frac{x+5}{10} - \frac{x}{8} = 15$. Это уравнение неверно. Во-первых, оно представляет разность $t_{озеро} - t_{река}$, которая должна быть отрицательной. Во-вторых, разница во времени указана в минутах (15), а не в часах.

Б) $\frac{x+5}{10} - \frac{x}{8} = \frac{1}{4}$. Это уравнение также не соответствует нашему выводу. Левая часть $t_{озеро} - t_{река}$ должна быть равна $-\frac{1}{4}$, а не $\frac{1}{4}$. Однако, если предположить, что в условии задачи или в вариантах ответа допущена опечатка и члены в левой части уравнения переставлены местами, то этот вариант содержит все правильные числовые компоненты: верные скорости ($8$ км/ч и $10$ км/ч) и корректно переведенное в часы время ($\frac{1}{4}$ ч).

В) $\frac{x+5}{10} - \frac{x}{12} = 15$. Это уравнение неверно, так как скорость против течения составляет $8$ км/ч, а не $12$ км/ч. Кроме того, время указано в минутах.

Г) $\frac{x+5}{10} - \frac{x}{12} = \frac{1}{4}$. Это уравнение неверно, так как используется неправильная скорость против течения ($12$ км/ч вместо $8$ км/ч).

Среди всех вариантов, вариант Б является наиболее правдоподобным, несмотря на ошибку в порядке вычитания. Он единственный использует правильные значения для скоростей и времени. Таким образом, он является искомой математической моделью с допущением опечатки.

Ответ: Б