Номер 690, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

690. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{3x - 2x^2}$;

2) $y = \sqrt{\frac{x - 5}{x + 7}}$.

1) Область определения функции $y = \sqrt{3x - 2x^2}$ находится из условия, что выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$3x - 2x^2 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $3x - 2x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3 - 2x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$3 - 2x = 0 \implies 2x = 3 \implies x_2 = \frac{3}{2} = 1.5$

Графиком функции $f(x) = 3x - 2x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен $-2$). Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[0; 1.5]$. Это и есть область определения функции.

Ответ: $x \in [0; 1.5]$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{x-5}{x+7}}$ определяется двумя условиями:

1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $\frac{x-5}{x+7} \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x+7 \ne 0$, что означает $x \ne -7$.

Для решения дробно-рационального неравенства $\frac{x-5}{x+7} \ge 0$ используем метод интервалов.

Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x - 5 = 0 \implies x = 5$.

Нуль знаменателя: $x + 7 = 0 \implies x = -7$.

Нанесем эти точки на числовую прямую. Точка $x=5$ будет "закрашенной" (включена в решение), так как неравенство нестрогое. Точка $x=-7$ будет "выколотой" (исключена из решения), так как она обращает знаменатель в ноль.

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -7)$, $(-7; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{x-5}{x+7}$ в каждом из интервалов:

• В интервале $(-\infty; -7)$, возьмем $x=-8$: $\frac{-8-5}{-8+7} = \frac{-13}{-1} = 13 > 0$. Знак «+».
• В интервале $(-7; 5)$, возьмем $x=0$: $\frac{0-5}{0+7} = -\frac{5}{7} < 0$. Знак «−».
• В интервале $(5; +\infty)$, возьмем $x=6$: $\frac{6-5}{6+7} = \frac{1}{13} > 0$. Знак «+».

Так как неравенство имеет вид $\ge 0$, нас интересуют интервалы со знаком «+», а также точка, где числитель равен нулю.

Объединяя полученные промежутки, получаем область определения функции.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup [5; +\infty)$.