Номер 688, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

688. Сократите дробь:

1) $\frac{9x^2 - 1}{3x^2 - 4x + 1};$

2) $\frac{2x^2 - 5x + 3}{4x^2 - 12x + 9}.$

1) Чтобы сократить дробь $\frac{9x^2-1}{3x^2-4x+1}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$9x^2-1 = (3x)^2 - 1^2 = (3x-1)(3x+1)$

Разложим на множители знаменатель. Для этого решим квадратное уравнение $3x^2-4x+1=0$, чтобы найти его корни. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4+2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4-2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь представим квадратный трехчлен в виде произведения, используя формулу $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$:

$3x^2-4x+1 = 3(x-1)(x-\frac{1}{3}) = (x-1)(3x-1)$

Подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{9x^2-1}{3x^2-4x+1} = \frac{(3x-1)(3x+1)}{(x-1)(3x-1)}$

Сократим общий множитель $(3x-1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $3x-1 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{1}{3}$):

$\frac{3x+1}{x-1}$

Ответ: $\frac{3x+1}{x-1}$

2) Сократим дробь $\frac{2x^2-5x+3}{4x^2-12x+9}$.

Сначала разложим на множители числитель. Для этого решим квадратное уравнение $2x^2-5x+3=0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5+1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5-1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Представим числитель в виде произведения по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$2x^2-5x+3 = 2(x-\frac{3}{2})(x-1) = (2x-3)(x-1)$

Теперь разложим на множители знаменатель. Заметим, что выражение $4x^2-12x+9$ является полным квадратом, так как соответствует формуле квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.

$4x^2-12x+9 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x-3)^2$

Подставим разложенные выражения в исходную дробь:

$\frac{2x^2-5x+3}{4x^2-12x+9} = \frac{(2x-3)(x-1)}{(2x-3)^2}$

Сократим общий множитель $(2x-3)$ (при условии, что $2x-3 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{3}{2}$):

$\frac{x-1}{2x-3}$

Ответ: $\frac{x-1}{2x-3}$