Номер 3, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Два тракториста, работая вместе, могут вспахать поле за 2 ч 40 мин. Если первый тракторист проработает 1 ч, а потом его сменит второй тракторист, который проработает 2 ч, то вспаханной окажется половина поля.

Пусть первый тракторист может самостоятельно вспахать поле за x ч, а второй – за y ч. Какая из данных систем уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?

А) $ \begin{cases} x + y = 2,4, \\ x + 2y = 0,5 \end{cases} $

Б) $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{8}{3}, \\ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{2} \end{cases} $

В) $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{8}, \\ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{2} \end{cases} $

Г) $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2\frac{2}{3}, \\ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{2} \end{cases} $

Для составления математической модели данной задачи, примем всю работу по вспашке поля за 1.

Пусть первый тракторист может самостоятельно вспахать все поле за $x$ часов, а второй — за $y$ часов.

Тогда производительность труда (часть поля, вспахиваемая за 1 час) первого тракториста равна $\frac{1}{x}$, а производительность второго тракториста — $\frac{1}{y}$.

Составим первое уравнение на основе первого условия: "Два тракториста, работая вместе, могут вспахать поле за 2 ч 40 мин".

Сначала переведем время работы в часы. 40 минут — это $\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ часа. Таким образом, общее время работы составляет $2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ часа.

При совместной работе их производительности складываются, поэтому их общая производительность составляет $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$.

Используя формулу "Работа = Производительность × Время", получаем:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot \frac{8}{3} = 1$.

Чтобы получить уравнение в стандартном для систем виде, выразим сумму производительностей:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \div \frac{8}{3} = \frac{3}{8}$.

Составим второе уравнение на основе второго условия: "Если первый тракторист проработает 1 ч, а потом его сменит второй тракторист, который проработает 2 ч, то вспаханной окажется половина поля".

За 1 час первый тракторист выполнит $\frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x}$ часть работы.

За 2 часа второй тракторист выполнит $\frac{1}{y} \cdot 2 = \frac{2}{y}$ часть работы.

В сумме они выполнят половину работы, то есть $\frac{1}{2}$. Отсюда второе уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{2}$.

Итоговая система уравнений.

Объединив полученные уравнения, мы получаем математическую модель ситуации: $$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{8} \\ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{2} \end{cases} $$

Данная система уравнений в точности соответствует системе, представленной в варианте В.

Ответ: В.