Номер 689, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

689. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 2x - y = 13, \\ x^2 - y^2 = 23; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x^2 - y^2 = 23, \\ 2x^2 + y^2 = 41. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x - y = 13 \\ x^2 - y^2 = 23 \end{cases}$

Для решения этой системы используем метод подстановки. Сначала выразим переменную y из первого (линейного) уравнения:

$2x - y = 13 \implies y = 2x - 13$

Теперь подставим это выражение для y во второе уравнение системы:

$x^2 - (2x - 13)^2 = 23$

Раскроем скобки, применив формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - (4x^2 - 2 \cdot 2x \cdot 13 + 13^2) = 23$

$x^2 - (4x^2 - 52x + 169) = 23$

$x^2 - 4x^2 + 52x - 169 = 23$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:

$-3x^2 + 52x - 169 - 23 = 0$

$-3x^2 + 52x - 192 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$3x^2 - 52x + 192 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-52)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 192 = 2704 - 2304 = 400$

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{52 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{52 \pm 20}{6}$

$x_1 = \frac{52 + 20}{6} = \frac{72}{6} = 12$

$x_2 = \frac{52 - 20}{6} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения y, подставляя найденные x в выражение $y = 2x - 13$:

При $x_1 = 12$, $y_1 = 2 \cdot 12 - 13 = 24 - 13 = 11$.

При $x_2 = \frac{16}{3}$, $y_2 = 2 \cdot \frac{16}{3} - 13 = \frac{32}{3} - \frac{39}{3} = -\frac{7}{3}$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(12; 11)$, $(\frac{16}{3}; -\frac{7}{3})$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 23 \\ 2x^2 + y^2 = 41 \end{cases}$

Эту систему удобно решить методом алгебраического сложения, поскольку коэффициенты при $y^2$ являются противоположными числами.

Сложим первое и второе уравнения:

$(2x^2 - y^2) + (2x^2 + y^2) = 23 + 41$

$4x^2 = 64$

Разделим обе части на 4:

$x^2 = 16$

Из этого уравнения находим значения x:

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Теперь найдем значения y. Подставим $x^2 = 16$ в любое из исходных уравнений. Например, во второе:

$2(16) + y^2 = 41$

$32 + y^2 = 41$

$y^2 = 41 - 32$

$y^2 = 9$

Из этого уравнения находим значения y:

$y_1 = 3$, $y_2 = -3$

Каждое из двух значений x может сочетаться с каждым из двух значений y, что дает нам четыре пары решений.

Ответ: $(4; 3)$, $(4; -3)$, $(-4; 3)$, $(-4; -3)$.