Номер 686, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

686. Постройте ряд: 1) из пяти чисел; 2) из шести чисел, у которого:

а) среднее значение равно медиане;

б) среднее значение больше медианы.

а) среднее значение равно медиане

1) из пяти чисел:

Для ряда из 5 чисел, упорядоченного по возрастанию ($x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$), медианой является центральный элемент $x_3$. Среднее значение равно $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}$. Чтобы среднее значение было равно медиане, должно выполняться равенство $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5} = x_3$, что равносильно $x_1+x_2+x_4+x_5 = 4x_3$. Проще всего построить ряд, симметричный относительно медианы. Пусть медиана $x_3=10$. Тогда нам нужен ряд, в котором $x_1+x_2+x_4+x_5 = 4 \times 10 = 40$. Возьмем ряд: 5, 8, 10, 12, 15. Проверим: медиана равна 10. Среднее значение: $\frac{5+8+10+12+15}{5} = \frac{50}{5} = 10$. Условие выполняется, так как $10=10$.

Ответ: 5, 8, 10, 12, 15.

2) из шести чисел:

Для ряда из 6 чисел, упорядоченного по возрастанию ($x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов: $\frac{x_3+x_4}{2}$. Среднее значение: $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6}$. Чтобы они были равны, должно выполняться $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6} = \frac{x_3+x_4}{2}$ или $x_1+x_2+x_5+x_6 = 2(x_3+x_4)$. Построим симметричный ряд. Пусть центральные числа $x_3=8$ и $x_4=12$. Медиана равна $\frac{8+12}{2} = 10$. Нам нужно, чтобы $x_1+x_2+x_5+x_6 = 2(8+12) = 40$. Возьмем ряд: 4, 6, 8, 12, 14, 16. Проверим: медиана равна 10. Среднее значение: $\frac{4+6+8+12+14+16}{6} = \frac{60}{6} = 10$. Условие выполняется, так как $10=10$.

Ответ: 4, 6, 8, 12, 14, 16.

б) среднее значение больше медианы

1) из пяти чисел:

Требуется, чтобы среднее значение было больше медианы: $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5} > x_3$. Возьмем за основу ряд из пункта а), где среднее равно медиане: 5, 8, 10, 12, 15. Здесь медиана равна 10, и среднее тоже равно 10. Чтобы среднее значение стало больше медианы, не изменяя саму медиану, достаточно увеличить один из членов, стоящих правее медианы. Например, заменим последнее число 15 на 25. Получим ряд: 5, 8, 10, 12, 25. Проверим: медиана осталась равной 10. Среднее значение: $\frac{5+8+10+12+25}{5} = \frac{60}{5} = 12$. Условие выполняется, так как $12 > 10$.

Ответ: 5, 8, 10, 12, 25.

2) из шести чисел:

Требуется, чтобы среднее значение было больше медианы: $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6} > \frac{x_3+x_4}{2}$. Возьмем за основу ряд из пункта а): 4, 6, 8, 12, 14, 16. Здесь медиана и среднее значение равны 10. Чтобы увеличить среднее значение, не меняя медиану, увеличим одно из чисел, не влияющих на медиану (то есть не $x_3$ и не $x_4$). Заменим последнее число 16 на 28. Получим ряд: 4, 6, 8, 12, 14, 28. Проверим: медиана осталась равной $\frac{8+12}{2}=10$. Среднее значение: $\frac{4+6+8+12+14+28}{6} = \frac{72}{6} = 12$. Условие выполняется, так как $12 > 10$.

Ответ: 4, 6, 8, 12, 14, 28.