Страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

673. Найдите среднее значение, моду, медиану и размах совокупности данных:

1) 3, 3, 4, 4, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 10;

2) 12, 13, 14, 16, 18, 18, 19, 19, 19.

1) Для совокупности данных: 3, 3, 4, 4, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 10.

Среднее значение (или среднее арифметическое) — это сумма всех чисел в наборе, деленная на их количество.
Количество элементов в наборе: $n = 11$.
Найдем сумму всех элементов: $S = 3 + 3 + 4 + 4 + 7 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 10 = 68$.
Вычислим среднее значение: $\bar{x} = \frac{S}{n} = \frac{68}{11} = 6\frac{2}{11}$.

Мода — это значение, которое встречается в наборе данных чаще всего.
Подсчитаем, сколько раз встречается каждое число:

• 3 - 2 раза
• 4 - 2 раза
• 7 - 4 раза
• 8 - 2 раза
• 10 - 1 раз

Число 7 встречается чаще всех, поэтому мода данной совокупности равна 7.

Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного набора данных. Данный набор уже упорядочен по возрастанию.
Ряд данных: 3, 3, 4, 4, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 10.
Количество элементов $n = 11$ (нечетное число). Медиана будет находиться на позиции $\frac{n+1}{2} = \frac{11+1}{2} = 6$.
Шестой элемент в ряду — это 7. Следовательно, медиана равна 7.

Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в наборе.
Наибольшее значение: 10.
Наименьшее значение: 3.
Размах = $10 - 3 = 7$.
Ответ: среднее значение $6\frac{2}{11}$; мода 7; медиана 7; размах 7.

2) Для совокупности данных: 12, 13, 14, 16, 18, 18, 19, 19, 19.

Среднее значение — это сумма всех чисел в наборе, деленная на их количество.
Количество элементов в наборе: $n = 9$.
Найдем сумму всех элементов: $S = 12 + 13 + 14 + 16 + 18 + 18 + 19 + 19 + 19 = 148$.
Вычислим среднее значение: $\bar{x} = \frac{S}{n} = \frac{148}{9} = 16\frac{4}{9}$.

Мода — это значение, которое встречается в наборе данных чаще всего.
Подсчитаем, сколько раз встречается каждое число:

• 12, 13, 14, 16 - по 1 разу
• 18 - 2 раза
• 19 - 3 раза

Число 19 встречается чаще всех, поэтому мода данной совокупности равна 19.

Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного набора данных. Данный набор уже упорядочен.
Ряд данных: 12, 13, 14, 16, 18, 18, 19, 19, 19.
Количество элементов $n = 9$ (нечетное число). Медиана будет находиться на позиции $\frac{n+1}{2} = \frac{9+1}{2} = 5$.
Пятый элемент в ряду — это 18. Следовательно, медиана равна 18.

Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в наборе.
Наибольшее значение: 19.
Наименьшее значение: 12.
Размах = $19 - 12 = 7$.
Ответ: среднее значение $16\frac{4}{9}$; мода 19; медиана 18; размах 7.

674. Девушки 9 класса на уроке физкультуры сдавали зачёт по прыжкам в высоту. Учитель записал такую последовательность результатов:

105 см, 65 см, 115 см, 100 см, 105 см, 110 см, 110 см, 115 см, 110 см, 100 см, 115 см.

Найдите:

Для нахождения статистических характеристик, сначала запишем исходный ряд данных, представляющий собой результаты прыжков в высоту (в см): 105, 65, 115, 100, 105, 110, 110, 115, 110, 100, 115. Всего в ряду 11 чисел.

Для удобства вычислений упорядочим этот ряд по возрастанию:

65, 100, 100, 105, 105, 110, 110, 110, 115, 115, 115.

Среднее значение

Среднее значение (или среднее арифметическое) — это сумма всех чисел ряда, делённая на их количество. Сначала найдём сумму всех значений: $65 + 2 \cdot 100 + 2 \cdot 105 + 3 \cdot 110 + 3 \cdot 115 = 65 + 200 + 210 + 330 + 345 = 1150$. Теперь разделим полученную сумму на количество чисел в ряду (11): $\frac{1150}{11} = 104\frac{6}{11}$.

Ответ: среднее значение равно $104\frac{6}{11}$ см.

Мода

Мода — это значение, которое встречается в ряду данных чаще всего. В нашем упорядоченном ряду видно, что числа 110 и 115 встречаются по 3 раза каждое. Это чаще, чем любые другие значения (числа 100 и 105 встречаются по 2 раза, а 65 — всего 1 раз). Следовательно, у данного ряда есть две моды.

Ответ: 110 см и 115 см.

Медиана

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд данных на две равные по количеству элементов части. Поскольку в ряду 11 элементов (нечётное число), медианой является число, стоящее в центре. Упорядоченный ряд: 65, 100, 100, 105, 105, 110, 110, 110, 115, 115, 115. Порядковый номер центрального элемента можно найти по формуле $\frac{n+1}{2}$, где $n$ — количество элементов: $\frac{11+1}{2}=6$. Шестым элементом в ряду является число 110.

Ответ: медиана равна 110 см.

Размах

Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда. В данном ряду наибольшее значение — 115 см, а наименьшее — 65 см. Вычислим их разность: $115 - 65 = 50$.

Ответ: размах равен 50 см.

675. Классный руководитель 9 класса ведёт учёт посещения учащимися занятий. В конце недели его записи выглядели так.

1) Найдите, сколько учащихся отсутствовало в среднем в день в течение этой недели.

2) Найдите моду и размах полученных данных.

1) Чтобы найти, сколько учащихся отсутствовало в среднем в день, необходимо вычислить среднее арифметическое для имеющегося ряда данных. Ряд данных о количестве отсутствующих по дням недели: 3, 2, 5, 2, 8.
Среднее арифметическое равно сумме всех значений, делённой на их количество.
Сначала найдём общее количество отсутствующих за 5 дней:
$3 + 2 + 5 + 2 + 8 = 20$
Теперь разделим полученную сумму на количество дней в учебной неделе, то есть на 5:
$\frac{3 + 2 + 5 + 2 + 8}{5} = \frac{20}{5} = 4$
Следовательно, в среднем в день отсутствовало 4 учащихся.
Ответ: 4.

2) Для нахождения моды и размаха необходимо проанализировать тот же ряд данных: 3, 2, 5, 2, 8.
Мода — это значение в наборе данных, которое встречается чаще всего. В данном ряду число 2 встречается дважды, в то время как остальные числа (3, 5, 8) — только по одному разу. Таким образом, модой этого ряда является число 2.
Размах — это разность между максимальным и минимальным значениями в наборе данных.
Максимальное значение в ряду: 8 (в пятницу).
Минимальное значение в ряду: 2 (во вторник и четверг).
Вычислим размах:
$8 - 2 = 6$
Следовательно, размах данных равен 6.
Ответ: мода 2, размах 6.

676. В 9 классе, в котором учится 23 ученика, провели опрос: сколько ча- сов в день тратит девятиклассник на выполнение домашних заданий. Ответы учащихся представлены в виде гистограммы (рис. 103).

Рис. 103

Количество девятиклассников

Время, затраченное на выполнение домашних заданий, ч

1) Заполните частотную таблицу.

2) Сколько времени в день в среднем учащийся этого класса выполня- ет домашнее задание? (Найдите среднее значение ряда данных.)

3) Сколько времени выполняет домашнее задание большинство уче- ников этого класса? (Найдите моду ряда данных.)

1) Заполните частотную таблицу.

Для заполнения частотной таблицы проанализируем гистограмму (рис. 103). Частота — это количество учеников (высота столбца), соответствующее каждому значению времени (горизонтальная ось). Общее количество учеников в классе — 23.

• Время 0 ч: 1 ученик (частота = 1)
• Время 1 ч: 6 учеников (частота = 6)
• Время 2 ч: 8 учеников (частота = 8)
• Время 3 ч: 5 учеников (частота = 5)
• Время 4 ч: 3 ученика (частота = 3)

Сумма частот: $1 + 6 + 8 + 5 + 3 = 23$, что совпадает с общим количеством опрошенных учеников.

Относительная частота в процентах вычисляется по формуле:
Относительная частота (%) = $\frac{Частота}{Общая\ частота} \times 100\%$

Рассчитаем относительные частоты (результаты округлим до сотых):

• Для 0 ч: $\frac{1}{23} \times 100\% \approx 4,35\%$
• Для 1 ч: $\frac{6}{23} \times 100\% \approx 26,09\%$
• Для 2 ч: $\frac{8}{23} \times 100\% \approx 34,78\%$
• Для 3 ч: $\frac{5}{23} \times 100\% \approx 21,74\%$
• Для 4 ч: $\frac{3}{23} \times 100\% \approx 13,04\%$

Заполним таблицу полученными данными.

Ответ:

2) Сколько времени в день в среднем учащийся этого класса выполняет домашнее задание? (Найдите среднее значение ряда данных.)

Среднее значение (или среднее арифметическое) ряда данных находим по формуле для взвешенного среднего, где в качестве весов выступают частоты:
$\bar{x} = \frac{\sum (значение \times частота)}{\sum частот}$

Рассчитаем сумму произведений времени на соответствующую частоту:
$S = (0 \cdot 1) + (1 \cdot 6) + (2 \cdot 8) + (3 \cdot 5) + (4 \cdot 3) = 0 + 6 + 16 + 15 + 12 = 49$ часов.

Общее количество учеников (сумма частот) равно 23.

Найдем среднее значение, разделив общую сумму часов на количество учеников (результат округлим до сотых):
$\bar{x} = \frac{49}{23} \approx 2,13$ часа.

Ответ: В среднем учащийся этого класса тратит на выполнение домашнего задания около 2,13 часа в день.

3) Сколько времени выполняет домашнее задание большинство учеников этого класса? (Найдите моду ряда данных.)

Мода ряда данных — это значение, которое встречается в ряду чаще всего. В данном случае это значение времени, которому соответствует наибольшая частота (самый высокий столбец на гистограмме).

Из частотной таблицы или гистограммы видно, что наибольшая частота равна 8. Эта частота соответствует значению времени, равному 2 часам.

Ответ: Большинство учеников этого класса выполняют домашнее задание 2 часа в день. Мода данного ряда данных равна 2 часам.