Страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

762. Рабочий должен был за определённый срок изготовить 216 деталей. Первые три дня он выполнял установленную ежедневную норму, а потом стал изготавливать ежедневно 8 деталей сверх нормы. За один день до конца срока было изготовлено 232 детали. Сколько деталей в день должен был изготавливать рабочий в соответствии с нормой?

Обозначим за $x$ количество деталей, которое рабочий должен был изготавливать в день в соответствии с нормой, и за $t$ — плановый срок выполнения работы в днях.

Согласно плану, рабочий должен был изготовить 216 деталей. Это можно выразить уравнением: $$x \cdot t = 216$$ Из этого уравнения можно выразить время $t$: $$t = \frac{216}{x}$$

По условию задачи, первые три дня рабочий придерживался нормы, изготовив за это время $3x$ деталей.

Затем он увеличил производительность и стал изготавливать на 8 деталей больше нормы, то есть по $(x + 8)$ деталей в день.

Работа с повышенной производительностью продолжалась до предпоследнего дня планового срока. Общее время работы составило $t - 1$ день. Из этого времени вычитаем первые три дня, чтобы найти, сколько дней рабочий трудился с повышенной производительностью: $(t - 1) - 3 = t - 4$ дня.

За эти $t - 4$ дня он изготовил $(x + 8)(t - 4)$ деталей.

К концу $t-1$-го дня общее количество изготовленных деталей составило 232. Составим второе уравнение, сложив количество деталей, произведенных в разные периоды: $$3x + (x + 8)(t - 4) = 232$$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений. Подставим выражение $t = \frac{216}{x}$ во второе уравнение: $$3x + (x + 8)\left(\frac{216}{x} - 4\right) = 232$$

Решим это уравнение. Раскроем скобки: $$3x + x \cdot \frac{216}{x} - 4x + 8 \cdot \frac{216}{x} - 32 = 232$$ $$3x + 216 - 4x + \frac{1728}{x} - 32 = 232$$

Упростим выражение, приведя подобные слагаемые: $$-x + 184 + \frac{1728}{x} = 232$$

Перенесем все слагаемые в одну сторону: $$-x + \frac{1728}{x} + 184 - 232 = 0$$ $$-x + \frac{1728}{x} - 48 = 0$$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим всё уравнение на $x$ (поскольку $x$, количество деталей, не может быть равно нулю). Для удобства умножим на $-x$, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным: $$x^2 + 48x - 1728 = 0$$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = 48^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1728) = 2304 + 6912 = 9216$$ Найдем корень из дискриминанта: $$\sqrt{D} = \sqrt{9216} = 96$$

Теперь найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{-48 + 96}{2} = \frac{48}{2} = 24$$ $$x_2 = \frac{-48 - 96}{2} = \frac{-144}{2} = -72$$

Поскольку $x$ обозначает количество деталей, это значение должно быть положительным. Поэтому корень $x_2 = -72$ не является решением задачи. Единственный подходящий корень — $x = 24$.

Ответ: 24.