Страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

751. При каком значении $y$ значения выражений $y^2 + 1$, $y^2 + y$ и $8y - 10$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть данные выражения $a_1 = y^2 + 1$, $a_2 = y^2 + y$ и $a_3 = 8y - 10$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, любой член прогрессии (кроме первого и последнего, если прогрессия конечна) равен среднему арифметическому своих соседних членов. Для наших трех членов это свойство можно записать в виде формулы: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$

Или в более удобном для вычислений виде: $2a_2 = a_1 + a_3$

Найдем значение y

Подставим данные выражения в эту формулу, чтобы составить уравнение относительно переменной y: $2(y^2 + y) = (y^2 + 1) + (8y - 10)$

Раскроем скобки и упростим выражение: $2y^2 + 2y = y^2 + 8y - 9$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $2y^2 - y^2 + 2y - 8y + 9 = 0$ $y^2 - 6y + 9 = 0$

Мы получили уравнение, левая часть которого является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(y - 3)^2 = 0$

Решением этого уравнения является: $y - 3 = 0$ $y = 3$

Следовательно, только при значении $y = 3$ данные выражения будут образовывать арифметическую прогрессию.

Найдем члены этой прогрессии

Теперь, когда мы нашли значение y, подставим его в каждое из трех исходных выражений, чтобы найти численные значения членов прогрессии.

Первый член прогрессии: $a_1 = y^2 + 1 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$

Второй член прогрессии: $a_2 = y^2 + y = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12$

Третий член прогрессии: $a_3 = 8y - 10 = 8 \cdot 3 - 10 = 24 - 10 = 14$

Таким образом, искомые члены арифметической прогрессии: 10, 12, 14. Разность этой прогрессии $d = 12 - 10 = 2$.

Ответ: при $y = 3$; члены прогрессии равны 10, 12, 14.

752. При каком значении $y$ значения выражений $y^2 - 2y$, $3y + 5$, $4y + 13$ и $2y^2 - y + 25$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии, которые мы обозначим как $a_1, a_2, a_3, a_4$:
$a_1 = y^2 - 2y$
$a_2 = 3y + 5$
$a_3 = 4y + 13$
$a_4 = 2y^2 - y + 25$

Характеристическое свойство арифметической прогрессии гласит, что каждый ее член, начиная со второго, является средним арифметическим своих соседних членов. Для того чтобы все четыре выражения были последовательными членами одной арифметической прогрессии, это свойство должно выполняться для $a_2$ и $a_3$. Это дает нам систему из двух уравнений:
$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$
$a_3 = \frac{a_2 + a_4}{2}$

Рассмотрим первое уравнение, переписав его в виде $2a_2 = a_1 + a_3$. Подставим в него соответствующие выражения:
$2(3y + 5) = (y^2 - 2y) + (4y + 13)$
$6y + 10 = y^2 + 2y + 13$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$y^2 + 2y - 6y + 13 - 10 = 0$
$y^2 - 4y + 3 = 0$
Это уравнение можно решить, например, по теореме Виета: сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Отсюда находим корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 3$.

Теперь рассмотрим второе уравнение: $2a_3 = a_2 + a_4$. Подставим в него выражения:
$2(4y + 13) = (3y + 5) + (2y^2 - y + 25)$
$8y + 26 = 2y^2 + 2y + 30$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$2y^2 + 2y - 8y + 30 - 26 = 0$
$2y^2 - 6y + 4 = 0$
Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:
$y^2 - 3y + 2 = 0$
По теореме Виета, сумма корней этого уравнения равна 3, а их произведение равно 2. Корнями являются: $y_3 = 1$ и $y_4 = 2$.

Чтобы все четыре выражения образовывали арифметическую прогрессию, значение $y$ должно быть общим решением для обоих полученных уравнений. Сравнивая наборы корней $\{1, 3\}$ и $\{1, 2\}$, мы видим, что единственным общим корнем является $y = 1$.

Найдем члены прогрессии, подставив значение $y = 1$ в исходные выражения:
$a_1 = (1)^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$
$a_2 = 3 \cdot 1 + 5 = 3 + 5 = 8$
$a_3 = 4 \cdot 1 + 13 = 4 + 13 = 17$
$a_4 = 2(1)^2 - 1 + 25 = 2 - 1 + 25 = 26$

Получилась последовательность: -1, 8, 17, 26.
Проверим, является ли она арифметической прогрессией, вычислив разность $d$ между соседними членами:
$d_1 = a_2 - a_1 = 8 - (-1) = 9$
$d_2 = a_3 - a_2 = 17 - 8 = 9$
$d_3 = a_4 - a_3 = 26 - 17 = 9$
Разность постоянна и равна 9, значит, последовательность действительно является арифметической прогрессией.

Ответ: при $y=1$ данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии; члены этой прогрессии: -1, 8, 17, 26.

753. При каком значении $x$ значения выражений $3x + 4$, $2x + 3$, $x^2$ и $2x^2 + x$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии $(a_n)$: $a_1 = 3x + 4$, $a_2 = 2x + 3$, $a_3 = x^2$, $a_4 = 2x^2 + x$.

Основное свойство арифметической прогрессии заключается в том, что разность между любыми двумя соседними членами постоянна. Эта постоянная разность называется разностью прогрессии $d$. Следовательно, для данных выражений должны одновременно выполняться следующие равенства: $a_2 - a_1 = d$, $a_3 - a_2 = d$ и $a_4 - a_3 = d$.

Это эквивалентно системе уравнений: $a_2 - a_1 = a_3 - a_2$ $a_3 - a_2 = a_4 - a_3$

Рассмотрим первое уравнение, составленное из первых трех членов: $(2x + 3) - (3x + 4) = x^2 - (2x + 3)$ $2x + 3 - 3x - 4 = x^2 - 2x - 3$ $-x - 1 = x^2 - 2x - 3$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $x^2 - 2x + x - 3 + 1 = 0$ $x^2 - x - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-2$. Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 2$ $x_2 = -1$

Теперь рассмотрим второе уравнение, составленное из последних трех членов: $a_3 - a_2 = a_4 - a_3$ $x^2 - (2x + 3) = (2x^2 + x) - x^2$ $x^2 - 2x - 3 = x^2 + x$ $-2x - 3 = x$ $3x = -3$ $x = -1$

Для того чтобы все четыре выражения были последовательными членами арифметической прогрессии, найденное значение $x$ должно удовлетворять обоим уравнениям. Сравнивая решения, видим, что единственным общим корнем является $x = -1$.

Теперь, когда мы нашли значение $x$, мы можем найти члены этой прогрессии. Подставим $x = -1$ в исходные выражения: $a_1 = 3(-1) + 4 = -3 + 4 = 1$ $a_2 = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1$ $a_3 = (-1)^2 = 1$ $a_4 = 2(-1)^2 + (-1) = 2(1) - 1 = 1$

Таким образом, мы получили последовательность $1, 1, 1, 1$, которая является арифметической прогрессией с разностью $d = 0$.

Ответ: при $x = -1$ данные выражения будут последовательными членами арифметической прогрессии. Члены этой прогрессии: 1, 1, 1, 1.

754. Докажите, что если числа $a$, $b$ и $c$ — три последовательных члена арифметической прогрессии, то:

1) $a^2 + 8bc = (2b + c)^2$;

2) $\frac{2}{9}(a+b+c)^3 = a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b)$.

Поскольку числа $a$, $b$ и $c$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии, для них справедливо характеристическое свойство: средний член равен полусумме соседних. То есть, $b = \frac{a+c}{2}$, откуда следует $2b = a+c$. Это соотношение мы будем использовать для доказательства обоих тождеств.

1) Докажем тождество $a^2 + 8bc = (2b + c)^2$.

Преобразуем правую часть равенства, используя свойство $2b = a+c$:

$(2b + c)^2 = ((a+c) + c)^2 = (a + 2c)^2 = a^2 + 4ac + 4c^2$.

Теперь преобразуем левую часть равенства. Для этого выразим $b$ из того же свойства: $b = \frac{a+c}{2}$.

$a^2 + 8bc = a^2 + 8\left(\frac{a+c}{2}\right)c = a^2 + 4(a+c)c = a^2 + 4ac + 4c^2$.

Левая и правая части равенства оказались тождественно равны: $a^2 + 4ac + 4c^2 = a^2 + 4ac + 4c^2$.

Таким образом, тождество $a^2 + 8bc = (2b + c)^2$ доказано.

Ответ: Доказано.

2) Докажем тождество $\frac{2}{9}(a + b + c)^3 = a^2(b + c) + b^2(a + c) + c^2(a + b)$.

Сначала преобразуем левую часть равенства. Используя свойство $a+c = 2b$, найдем сумму $a+b+c$:

$a + b + c = (a+c) + b = 2b + b = 3b$.

Подставим это выражение в левую часть исходного равенства:

$\frac{2}{9}(a + b + c)^3 = \frac{2}{9}(3b)^3 = \frac{2}{9} \cdot 27b^3 = 2 \cdot 3b^3 = 6b^3$.

Теперь преобразуем правую часть равенства $a^2(b + c) + b^2(a + c) + c^2(a + b)$.

Подставим в среднее слагаемое $a+c = 2b$:

$a^2(b + c) + b^2(2b) + c^2(a + b) = a^2(b + c) + 2b^3 + c^2(a + b)$.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$a^2b + a^2c + 2b^3 + c^2a + c^2b = b(a^2 + c^2) + ac(a+c) + 2b^3$.

Снова используем свойство $a+c = 2b$:

$b(a^2 + c^2) + ac(2b) + 2b^3 = b(a^2 + 2ac + c^2) + 2b^3$.

Выражение в скобках является формулой полного квадрата суммы $(a+c)^2$:

$b(a+c)^2 + 2b^3$.

И в последний раз подставим $a+c = 2b$:

$b(2b)^2 + 2b^3 = b(4b^2) + 2b^3 = 4b^3 + 2b^3 = 6b^3$.

Левая часть равна $6b^3$ и правая часть также равна $6b^3$.

Таким образом, тождество $\frac{2}{9}(a + b + c)^3 = a^2(b + c) + b^2(a + c) + c^2(a + b)$ доказано.

Ответ: Доказано.

755. Докажите, что если положительные числа a, b и c – три последовательных члена арифметической прогрессии, то
$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} = \frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$

По условию задачи, положительные числа $a$, $b$ и $c$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Это означает, что разность между последующим и предыдущим членами постоянна. Обозначим эту разность как $d$. $$ b - a = d \quad \text{и} \quad c - b = d $$ Из этого следует важное для решения свойство: $b - a = c - b$.

Для доказательства тождества $$ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{c}} $$ мы преобразуем его левую часть (ЛЧ) и покажем, что она равна правой части (ПЧ).

ЛЧ = $ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} $.

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателях каждой дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю.

Для первой дроби сопряженное выражение — $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$: $$ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} $$

Для второй дроби сопряженное выражение — $(\sqrt{b} - \sqrt{c})$: $$ \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{b} - \sqrt{c})}{(\sqrt{b} + \sqrt{c})(\sqrt{b} - \sqrt{c})} = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{c}}{b - c} $$

Теперь сложим полученные дроби. Из свойства арифметической прогрессии мы знаем, что $b - a = c - b$. Обозначим эту разность $d$. Тогда $a - b = -d$ и $b - c = d$. Подставим эти значения в знаменатели. $$ \text{ЛЧ} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{-d} + \frac{\sqrt{b} - \sqrt{c}}{d} = \frac{-(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{d} + \frac{\sqrt{b} - \sqrt{c}}{d} $$

Сложим дроби с общим знаменателем $d$: $$ \text{ЛЧ} = \frac{-\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{b} - \sqrt{c}}{d} = \frac{2\sqrt{b} - \sqrt{a} - \sqrt{c}}{d} $$

Это не самый простой путь. Вернемся на шаг назад и воспользуемся тем, что $b-a=c-b$, или $a-b = -(c-b) = b-c$. $$ \text{ЛЧ} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} + \frac{\sqrt{b} - \sqrt{c}}{b - c} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} - \frac{\sqrt{b} - \sqrt{c}}{a - b} $$ $$ \text{ЛЧ} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) - (\sqrt{b} - \sqrt{c})}{a - b} = \frac{\sqrt{a} - 2\sqrt{b} + \sqrt{c}}{a - b} $$ Данный путь также усложняется.

Рассмотрим другой подход, основанный на свойстве $2b = a+c$. Докажем, что заданное равенство равносильно свойству арифметической прогрессии. Перепишем равенство: $$ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{c}} = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{c}} - \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} $$

Приведем к общему знаменателю левую и правую части. Левая часть: $$ \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{c}) - (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{c})} = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{c})} $$ Правая часть: $$ \frac{(\sqrt{b} + \sqrt{c}) - (\sqrt{a} + \sqrt{c})}{(\sqrt{a} + \sqrt{c})(\sqrt{b} + \sqrt{c})} = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{(\sqrt{a} + \sqrt{c})(\sqrt{b} + \sqrt{c})} $$

Приравниваем преобразованные части: $$ \frac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{c})} = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{(\sqrt{a} + \sqrt{c})(\sqrt{b} + \sqrt{c})} $$

Поскольку $a, c > 0$, множитель $(\sqrt{a} + \sqrt{c})$ в знаменателе положителен и не равен нулю. Умножим обе части на него: $$ \frac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} $$

Применим перекрестное умножение: $$ (\sqrt{c} - \sqrt{b})(\sqrt{b} + \sqrt{c}) = (\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) $$

Используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, получаем: $$ (\sqrt{c})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{b})^2 - (\sqrt{a})^2 $$ $$ c - b = b - a $$

Это равенство является определением того, что $a, b, c$ — последовательные члены арифметической прогрессии. Так как это дано в условии, а все преобразования были равносильными (знаменатели не обращались в ноль, так как $a, b, c$ — положительные числа), то исходное тождество верно.

Ответ: Тождество доказано, поскольку оно равносильно основному свойству трех последовательных членов арифметической прогрессии.

756. Докажите, что если значения выражений $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$ и $\frac{1}{a+b}$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, то значения выражений $a^2$, $b^2$ и $c^2$ также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Пусть выражения $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$ и $\frac{1}{a+b}$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Согласно определению арифметической прогрессии, каждый ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и последующего членов. Это можно записать и как равенство разностей между соседними членами. Для наших выражений это означает:

$$ \frac{1}{a+c} - \frac{1}{b+c} = \frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+c} $$

Для дальнейшего преобразования приведем дроби в левой и правой частях равенства к общему знаменателю.

В левой части: $$ \frac{1}{a+c} - \frac{1}{b+c} = \frac{(b+c) - (a+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{b+c-a-c}{(a+c)(b+c)} = \frac{b-a}{(a+c)(b+c)} $$

В правой части: $$ \frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+c} = \frac{(a+c) - (a+b)}{(a+b)(a+c)} = \frac{a+c-a-b}{(a+b)(a+c)} = \frac{c-b}{(a+b)(a+c)} $$

Теперь приравняем полученные выражения: $$ \frac{b-a}{(a+c)(b+c)} = \frac{c-b}{(a+b)(a+c)} $$

Поскольку по условию задачи выражения имеют числовые значения, их знаменатели не равны нулю. В частности, $a+c \neq 0$, поэтому мы можем умножить обе части равенства на $(a+c)$, не нарушая его: $$ \frac{b-a}{b+c} = \frac{c-b}{a+b} $$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение): $$ (b-a)(a+b) = (c-b)(b+c) $$

Применим формулу разности квадратов, $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, к обеим частям равенства: $$ b^2 - a^2 = c^2 - b^2 $$

Это равенство является характеристическим свойством для трех последовательных членов арифметической прогрессии $a^2, b^2, c^2$. Оно показывает, что разность между вторым и первым членами ($b^2 - a^2$) равна разности между третьим и вторым членами ($c^2 - b^2$).

Следовательно, значения выражений $a^2$, $b^2$ и $c^2$ также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ: Утверждение доказано.

757. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 - 3y^2 = 46, \\ x + y = 6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - 2y^2 = -4, \\ x^2 + 2y^2 = 12. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - 3y^2 = 46, \\ x + y = 6. \end{cases} $$

Для решения этой системы используем метод подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 6 - y$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(6 - y)^2 - 3y^2 = 46$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(36 - 12y + y^2) - 3y^2 = 46$

$36 - 12y - 2y^2 = 46$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$-2y^2 - 12y + 36 - 46 = 0$

$-2y^2 - 12y - 10 = 0$

Разделим обе части уравнения на -2, чтобы упростить его:

$y^2 + 6y + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -6, а их произведение равно 5. Следовательно, корни уравнения:

$y_1 = -5$, $y_2 = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y$, используя выражение $x = 6 - y$.

Если $y_1 = -5$, то:

$x_1 = 6 - (-5) = 6 + 5 = 11$

Первое решение: $(11, -5)$.

Если $y_2 = -1$, то:

$x_2 = 6 - (-1) = 6 + 1 = 7$

Второе решение: $(7, -1)$.

Ответ: $(11, -5), (7, -1)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - 2y^2 = -4, \\ x^2 + 2y^2 = 12. \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения, так как коэффициенты при $y^2$ являются противоположными числами.

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x^2 - 2y^2) + (x^2 + 2y^2) = -4 + 12$

$2x^2 = 8$

Отсюда находим $x^2$:

$x^2 = 4$

Значит, $x$ может принимать два значения:

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Теперь подставим значение $x^2 = 4$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y^2$. Возьмем второе уравнение $x^2 + 2y^2 = 12$:

$4 + 2y^2 = 12$

$2y^2 = 12 - 4$

$2y^2 = 8$

$y^2 = 4$

Значит, $y$ также может принимать два значения:

$y_1 = 2$, $y_2 = -2$

Так как мы нашли значения для $x^2$ и $y^2$, решениями системы будут все возможные комбинации значений $x$ и $y$.

Получаем четыре пары решений:

$(2, 2)$, $(2, -2)$, $(-2, 2)$, $(-2, -2)$.

Ответ: $(2, 2), (2, -2), (-2, 2), (-2, -2)$.

758. Какое из данных неравенств равносильно неравенству $-5x < 10$:
1) $5x < -10$; 2) $10x > -20$; 3) $10x < -20$; 4) $5x > 10$?

Чтобы определить, какое из предложенных неравенств равносильно неравенству $-5x < 10$, нужно найти решение исходного неравенства, а затем найти решение для каждого из предложенных вариантов и сравнить их. Два неравенства равносильны, если множества их решений совпадают.

Шаг 1: Решение исходного неравенства.
Решим неравенство $-5x < 10$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный (с «<» на «>»):
$x > \frac{10}{-5}$
$x > -2$
Решением исходного неравенства является интервал $(-2; +\infty)$.

Шаг 2: Решение предложенных неравенств.
Теперь решим каждое из предложенных неравенств.

1) $5x < -10$
Разделим обе части на 5 (положительное число, знак не меняется):
$x < \frac{-10}{5}$
$x < -2$
Решение $(- \infty; -2)$ не совпадает с решением $x > -2$.

2) $10x > -20$
Разделим обе части на 10 (положительное число, знак не меняется):
$x > \frac{-20}{10}$
$x > -2$
Решение $(-2; +\infty)$ совпадает с решением исходного неравенства. Следовательно, это неравенство равносильно исходному.

3) $10x < -20$
Разделим обе части на 10:
$x < \frac{-20}{10}$
$x < -2$
Решение $(- \infty; -2)$ не совпадает с решением $x > -2$.

4) $5x > 10$
Разделим обе части на 5:
$x > \frac{10}{5}$
$x > 2$
Решение $(2; +\infty)$ не совпадает с решением $x > -2$.

Шаг 3: Вывод.
Сравнив решения, мы видим, что только неравенство $10x > -20$ имеет то же самое множество решений, что и исходное неравенство $-5x < 10$.

Ответ: 2

759. Чему равно наименьшее целое решение неравенства $3(x-1)^2 - 3x(x-5) > -40$?

Для того чтобы решить неравенство $3(x - 1)^2 - 3x(x - 5) > -40$, необходимо его упростить, раскрыв все скобки и приведя подобные слагаемые.

1. Сначала раскроем квадрат разности $(x-1)^2$ по формуле сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x-1)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1$

2. Теперь подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$3(x^2 - 2x + 1) - 3x(x - 5) > -40$

3. Раскроем скобки, умножив их содержимое на множители перед ними:

$(3 \cdot x^2 - 3 \cdot 2x + 3 \cdot 1) - (3x \cdot x - 3x \cdot 5) > -40$

$3x^2 - 6x + 3 - (3x^2 - 15x) > -40$

4. Раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$3x^2 - 6x + 3 - 3x^2 + 15x > -40$

5. Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются, так как $3x^2 - 3x^2 = 0$.

$(-6x + 15x) + 3 > -40$

$9x + 3 > -40$

6. Мы получили простое линейное неравенство. Перенесем число 3 из левой части в правую, изменив его знак:

$9x > -40 - 3$

$9x > -43$

7. Разделим обе части неравенства на 9. Поскольку 9 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x > -\frac{43}{9}$

8. Чтобы найти наименьшее целое решение, преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{43}{9} = -4\frac{7}{9}$

Итак, неравенство имеет вид $x > -4\frac{7}{9}$. Мы ищем наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому условию. На числовой прямой целые числа, большие $-4\frac{7}{9}$, это -4, -3, -2, -1 и так далее. Наименьшим из них является -4.

Ответ: -4

760. Упростите выражение:

1) $(2\sqrt{6} - 2\sqrt{54} + 6\sqrt{96}) \cdot 2\sqrt{3};$

2) $(5\sqrt{20} - 6\sqrt{10} + 2\sqrt{40}) \cdot 3\sqrt{5}.$

1)

Для упрощения данного выражения сначала упростим корни в скобках, вынеся множители из-под знака корня:
$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$
$\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{6} = 4\sqrt{6}$
Теперь подставим упрощенные значения обратно в выражение:
$(2\sqrt{6} - 2 \cdot 3\sqrt{6} + 6 \cdot 4\sqrt{6}) \cdot 2\sqrt{3} = (2\sqrt{6} - 6\sqrt{6} + 24\sqrt{6}) \cdot 2\sqrt{3}$
Выполним действия в скобках, приведя подобные слагаемые:
$(2\sqrt{6} - 6\sqrt{6} + 24\sqrt{6}) \cdot 2\sqrt{3} = (2 - 6 + 24)\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3} = 20\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3}$
Теперь перемножим полученные выражения:
$20\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3} = (20 \cdot 2) \cdot (\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}) = 40\sqrt{18}$
Упростим оставшийся корень:
$40\sqrt{18} = 40\sqrt{9 \cdot 2} = 40 \cdot 3\sqrt{2} = 120\sqrt{2}$

Ответ: $120\sqrt{2}$

2)

Сначала упростим корни в скобках, вынося множители из-под знака корня:
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$
$\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$
Подставим упрощенные корни в выражение:
$(5 \cdot 2\sqrt{5} - 6\sqrt{10} + 2 \cdot 2\sqrt{10}) \cdot 3\sqrt{5} = (10\sqrt{5} - 6\sqrt{10} + 4\sqrt{10}) \cdot 3\sqrt{5}$
Приведем подобные слагаемые в скобках:
$(10\sqrt{5} + (-6+4)\sqrt{10}) \cdot 3\sqrt{5} = (10\sqrt{5} - 2\sqrt{10}) \cdot 3\sqrt{5}$
Теперь раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения:
$10\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5} - 2\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{5}$
Вычислим каждое произведение отдельно:
$10\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5} = (10 \cdot 3) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}) = 30 \cdot 5 = 150$
$2\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{5} = (2 \cdot 3) \cdot (\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}) = 6\sqrt{50}$
Упростим корень $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$. Следовательно, второе слагаемое равно $6 \cdot 5\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$.
Объединим результаты:
$150 - 30\sqrt{2}$

Ответ: $150 - 30\sqrt{2}$

761. Докажите, что если все цифры трёхзначного числа одинаковы, то это число кратно 37.

Пусть дано трёхзначное число, все цифры которого одинаковы. Обозначим эту цифру буквой $a$. Поскольку число трёхзначное, $a$ может быть любой цифрой от 1 до 9. Такое число можно записать в виде $\overline{aaa}$.

Представим это число в стандартной десятичной записи (в виде суммы разрядных слагаемых): $\overline{aaa} = a \cdot 100 + a \cdot 10 + a \cdot 1$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a \cdot (100 + 10 + 1) = a \cdot 111$

Чтобы доказать, что исходное число кратно 37, нам нужно показать, что выражение $a \cdot 111$ делится на 37 нацело. Для этого достаточно, чтобы один из сомножителей в этом произведении был кратен 37.

Проверим, делится ли число 111 на 37. Выполним деление: $111 \div 37 = 3$

Деление выполняется без остатка, значит, число 111 кратно 37. Мы можем представить 111 в виде произведения $3 \cdot 37$.

Теперь подставим это разложение в выражение для нашего числа: $\overline{aaa} = a \cdot 111 = a \cdot (3 \cdot 37)$

Полученное выражение $a \cdot 3 \cdot 37$ содержит множитель 37, а значит, оно делится на 37 без остатка. Результатом деления будет целое число $3a$. Это по определению означает, что любое число вида $\overline{aaa}$ кратно 37, что и требовалось доказать.

Ответ: Любое трёхзначное число, все цифры которого одинаковы, можно представить в виде $\overline{aaa} = a \cdot 111$. Так как $111 = 3 \cdot 37$, то любое такое число равно $a \cdot 3 \cdot 37$. Наличие множителя 37 в этом произведении доказывает, что число кратно 37.