Номер 760, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

760. Упростите выражение:

1) $(2\sqrt{6} - 2\sqrt{54} + 6\sqrt{96}) \cdot 2\sqrt{3};$

2) $(5\sqrt{20} - 6\sqrt{10} + 2\sqrt{40}) \cdot 3\sqrt{5}.$

1)

Для упрощения данного выражения сначала упростим корни в скобках, вынеся множители из-под знака корня:
$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$
$\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{6} = 4\sqrt{6}$
Теперь подставим упрощенные значения обратно в выражение:
$(2\sqrt{6} - 2 \cdot 3\sqrt{6} + 6 \cdot 4\sqrt{6}) \cdot 2\sqrt{3} = (2\sqrt{6} - 6\sqrt{6} + 24\sqrt{6}) \cdot 2\sqrt{3}$
Выполним действия в скобках, приведя подобные слагаемые:
$(2\sqrt{6} - 6\sqrt{6} + 24\sqrt{6}) \cdot 2\sqrt{3} = (2 - 6 + 24)\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3} = 20\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3}$
Теперь перемножим полученные выражения:
$20\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3} = (20 \cdot 2) \cdot (\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}) = 40\sqrt{18}$
Упростим оставшийся корень:
$40\sqrt{18} = 40\sqrt{9 \cdot 2} = 40 \cdot 3\sqrt{2} = 120\sqrt{2}$

Ответ: $120\sqrt{2}$

2)

Сначала упростим корни в скобках, вынося множители из-под знака корня:
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$
$\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$
Подставим упрощенные корни в выражение:
$(5 \cdot 2\sqrt{5} - 6\sqrt{10} + 2 \cdot 2\sqrt{10}) \cdot 3\sqrt{5} = (10\sqrt{5} - 6\sqrt{10} + 4\sqrt{10}) \cdot 3\sqrt{5}$
Приведем подобные слагаемые в скобках:
$(10\sqrt{5} + (-6+4)\sqrt{10}) \cdot 3\sqrt{5} = (10\sqrt{5} - 2\sqrt{10}) \cdot 3\sqrt{5}$
Теперь раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения:
$10\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5} - 2\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{5}$
Вычислим каждое произведение отдельно:
$10\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5} = (10 \cdot 3) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}) = 30 \cdot 5 = 150$
$2\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{5} = (2 \cdot 3) \cdot (\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}) = 6\sqrt{50}$
Упростим корень $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$. Следовательно, второе слагаемое равно $6 \cdot 5\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$.
Объединим результаты:
$150 - 30\sqrt{2}$

Ответ: $150 - 30\sqrt{2}$