Номер 753, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

753. При каком значении $x$ значения выражений $3x + 4$, $2x + 3$, $x^2$ и $2x^2 + x$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии $(a_n)$: $a_1 = 3x + 4$, $a_2 = 2x + 3$, $a_3 = x^2$, $a_4 = 2x^2 + x$.

Основное свойство арифметической прогрессии заключается в том, что разность между любыми двумя соседними членами постоянна. Эта постоянная разность называется разностью прогрессии $d$. Следовательно, для данных выражений должны одновременно выполняться следующие равенства: $a_2 - a_1 = d$, $a_3 - a_2 = d$ и $a_4 - a_3 = d$.

Это эквивалентно системе уравнений: $a_2 - a_1 = a_3 - a_2$ $a_3 - a_2 = a_4 - a_3$

Рассмотрим первое уравнение, составленное из первых трех членов: $(2x + 3) - (3x + 4) = x^2 - (2x + 3)$ $2x + 3 - 3x - 4 = x^2 - 2x - 3$ $-x - 1 = x^2 - 2x - 3$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $x^2 - 2x + x - 3 + 1 = 0$ $x^2 - x - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-2$. Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 2$ $x_2 = -1$

Теперь рассмотрим второе уравнение, составленное из последних трех членов: $a_3 - a_2 = a_4 - a_3$ $x^2 - (2x + 3) = (2x^2 + x) - x^2$ $x^2 - 2x - 3 = x^2 + x$ $-2x - 3 = x$ $3x = -3$ $x = -1$

Для того чтобы все четыре выражения были последовательными членами арифметической прогрессии, найденное значение $x$ должно удовлетворять обоим уравнениям. Сравнивая решения, видим, что единственным общим корнем является $x = -1$.

Теперь, когда мы нашли значение $x$, мы можем найти члены этой прогрессии. Подставим $x = -1$ в исходные выражения: $a_1 = 3(-1) + 4 = -3 + 4 = 1$ $a_2 = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1$ $a_3 = (-1)^2 = 1$ $a_4 = 2(-1)^2 + (-1) = 2(1) - 1 = 1$

Таким образом, мы получили последовательность $1, 1, 1, 1$, которая является арифметической прогрессией с разностью $d = 0$.

Ответ: при $x = -1$ данные выражения будут последовательными членами арифметической прогрессии. Члены этой прогрессии: 1, 1, 1, 1.