Номер 756, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

756. Докажите, что если значения выражений $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$ и $\frac{1}{a+b}$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, то значения выражений $a^2$, $b^2$ и $c^2$ также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Пусть выражения $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$ и $\frac{1}{a+b}$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Согласно определению арифметической прогрессии, каждый ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и последующего членов. Это можно записать и как равенство разностей между соседними членами. Для наших выражений это означает:

$$ \frac{1}{a+c} - \frac{1}{b+c} = \frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+c} $$

Для дальнейшего преобразования приведем дроби в левой и правой частях равенства к общему знаменателю.

В левой части: $$ \frac{1}{a+c} - \frac{1}{b+c} = \frac{(b+c) - (a+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{b+c-a-c}{(a+c)(b+c)} = \frac{b-a}{(a+c)(b+c)} $$

В правой части: $$ \frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+c} = \frac{(a+c) - (a+b)}{(a+b)(a+c)} = \frac{a+c-a-b}{(a+b)(a+c)} = \frac{c-b}{(a+b)(a+c)} $$

Теперь приравняем полученные выражения: $$ \frac{b-a}{(a+c)(b+c)} = \frac{c-b}{(a+b)(a+c)} $$

Поскольку по условию задачи выражения имеют числовые значения, их знаменатели не равны нулю. В частности, $a+c \neq 0$, поэтому мы можем умножить обе части равенства на $(a+c)$, не нарушая его: $$ \frac{b-a}{b+c} = \frac{c-b}{a+b} $$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение): $$ (b-a)(a+b) = (c-b)(b+c) $$

Применим формулу разности квадратов, $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, к обеим частям равенства: $$ b^2 - a^2 = c^2 - b^2 $$

Это равенство является характеристическим свойством для трех последовательных членов арифметической прогрессии $a^2, b^2, c^2$. Оно показывает, что разность между вторым и первым членами ($b^2 - a^2$) равна разности между третьим и вторым членами ($c^2 - b^2$).

Следовательно, значения выражений $a^2$, $b^2$ и $c^2$ также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ: Утверждение доказано.