Номер 751, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

751. При каком значении $y$ значения выражений $y^2 + 1$, $y^2 + y$ и $8y - 10$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть данные выражения $a_1 = y^2 + 1$, $a_2 = y^2 + y$ и $a_3 = 8y - 10$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, любой член прогрессии (кроме первого и последнего, если прогрессия конечна) равен среднему арифметическому своих соседних членов. Для наших трех членов это свойство можно записать в виде формулы: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$

Или в более удобном для вычислений виде: $2a_2 = a_1 + a_3$

Найдем значение y

Подставим данные выражения в эту формулу, чтобы составить уравнение относительно переменной y: $2(y^2 + y) = (y^2 + 1) + (8y - 10)$

Раскроем скобки и упростим выражение: $2y^2 + 2y = y^2 + 8y - 9$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $2y^2 - y^2 + 2y - 8y + 9 = 0$ $y^2 - 6y + 9 = 0$

Мы получили уравнение, левая часть которого является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(y - 3)^2 = 0$

Решением этого уравнения является: $y - 3 = 0$ $y = 3$

Следовательно, только при значении $y = 3$ данные выражения будут образовывать арифметическую прогрессию.

Найдем члены этой прогрессии

Теперь, когда мы нашли значение y, подставим его в каждое из трех исходных выражений, чтобы найти численные значения членов прогрессии.

Первый член прогрессии: $a_1 = y^2 + 1 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$

Второй член прогрессии: $a_2 = y^2 + y = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12$

Третий член прогрессии: $a_3 = 8y - 10 = 8 \cdot 3 - 10 = 24 - 10 = 14$

Таким образом, искомые члены арифметической прогрессии: 10, 12, 14. Разность этой прогрессии $d = 12 - 10 = 2$.

Ответ: при $y = 3$; члены прогрессии равны 10, 12, 14.