Номер 759, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

759. Чему равно наименьшее целое решение неравенства $3(x-1)^2 - 3x(x-5) > -40$?

Для того чтобы решить неравенство $3(x - 1)^2 - 3x(x - 5) > -40$, необходимо его упростить, раскрыв все скобки и приведя подобные слагаемые.

1. Сначала раскроем квадрат разности $(x-1)^2$ по формуле сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x-1)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1$

2. Теперь подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$3(x^2 - 2x + 1) - 3x(x - 5) > -40$

3. Раскроем скобки, умножив их содержимое на множители перед ними:

$(3 \cdot x^2 - 3 \cdot 2x + 3 \cdot 1) - (3x \cdot x - 3x \cdot 5) > -40$

$3x^2 - 6x + 3 - (3x^2 - 15x) > -40$

4. Раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$3x^2 - 6x + 3 - 3x^2 + 15x > -40$

5. Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются, так как $3x^2 - 3x^2 = 0$.

$(-6x + 15x) + 3 > -40$

$9x + 3 > -40$

6. Мы получили простое линейное неравенство. Перенесем число 3 из левой части в правую, изменив его знак:

$9x > -40 - 3$

$9x > -43$

7. Разделим обе части неравенства на 9. Поскольку 9 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x > -\frac{43}{9}$

8. Чтобы найти наименьшее целое решение, преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$-\frac{43}{9} = -4\frac{7}{9}$

Итак, неравенство имеет вид $x > -4\frac{7}{9}$. Мы ищем наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому условию. На числовой прямой целые числа, большие $-4\frac{7}{9}$, это -4, -3, -2, -1 и так далее. Наименьшим из них является -4.

Ответ: -4