Номер 761, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

761. Докажите, что если все цифры трёхзначного числа одинаковы, то это число кратно 37.

Пусть дано трёхзначное число, все цифры которого одинаковы. Обозначим эту цифру буквой $a$. Поскольку число трёхзначное, $a$ может быть любой цифрой от 1 до 9. Такое число можно записать в виде $\overline{aaa}$.

Представим это число в стандартной десятичной записи (в виде суммы разрядных слагаемых): $\overline{aaa} = a \cdot 100 + a \cdot 10 + a \cdot 1$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a \cdot (100 + 10 + 1) = a \cdot 111$

Чтобы доказать, что исходное число кратно 37, нам нужно показать, что выражение $a \cdot 111$ делится на 37 нацело. Для этого достаточно, чтобы один из сомножителей в этом произведении был кратен 37.

Проверим, делится ли число 111 на 37. Выполним деление: $111 \div 37 = 3$

Деление выполняется без остатка, значит, число 111 кратно 37. Мы можем представить 111 в виде произведения $3 \cdot 37$.

Теперь подставим это разложение в выражение для нашего числа: $\overline{aaa} = a \cdot 111 = a \cdot (3 \cdot 37)$

Полученное выражение $a \cdot 3 \cdot 37$ содержит множитель 37, а значит, оно делится на 37 без остатка. Результатом деления будет целое число $3a$. Это по определению означает, что любое число вида $\overline{aaa}$ кратно 37, что и требовалось доказать.

Ответ: Любое трёхзначное число, все цифры которого одинаковы, можно представить в виде $\overline{aaa} = a \cdot 111$. Так как $111 = 3 \cdot 37$, то любое такое число равно $a \cdot 3 \cdot 37$. Наличие множителя 37 в этом произведении доказывает, что число кратно 37.