Страница 225 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как найти сумму $n$ первых членов арифметической прогрессии, если известны её первый и последний члены?

1. Чтобы найти сумму $n$ первых членов арифметической прогрессии ($S_n$), зная её первый ($a_1$) и последний ($a_n$) члены, необходимо использовать следующую формулу:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Эта формула означает, что сумма прогрессии равна произведению среднего арифметического её первого и последнего членов на количество членов.

Пояснение (вывод формулы):

Давайте запишем сумму $n$ членов прогрессии дважды: в прямом и в обратном порядке.

$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n$

$S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_2 + a_1$

Теперь сложим эти два равенства почленно. Каждый член из первой строки складывается с соответствующим членом из второй строки:

$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \dots + (a_{n-1} + a_2) + (a_n + a_1)$

Ключевое свойство арифметической прогрессии заключается в том, что сумма двух членов, равноудаленных от концов, всегда одинакова и равна сумме первого и последнего членов: $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$. Например, $a_2 + a_{n-1} = (a_1 + d) + (a_n - d) = a_1 + a_n$, где $d$ — разность прогрессии.

Таким образом, каждая из $n$ пар в скобках в сумме дает $a_1 + a_n$. Следовательно, мы можем переписать сумму так:

$2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n$

Разделив обе части уравнения на 2, мы получим итоговую формулу:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Пример:

Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Это арифметическая прогрессия, где $a_1 = 1$, последний член $a_{100} = 100$ и количество членов $n = 100$.

$S_{100} = \frac{1 + 100}{2} \cdot 100 = \frac{101}{2} \cdot 100 = 101 \cdot 50 = 5050$

Ответ: Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии находится по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$, где $a_1$ — это первый член, $a_n$ — n-й член, а $n$ — количество членов.

2. Как найти сумму $n$ первых членов арифметической прогрессии, если известны её первый член и разность?

Для нахождения суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии, зная её первый член и разность, используется специальная формула, которую можно вывести из основной формулы суммы.

Стандартная формула для суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии выглядит так:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

где $S_n$ — это искомая сумма, $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$ — член прогрессии с номером $n$, и $n$ — количество членов.

В условии задачи нам не дан $n$-й член $a_n$, но даны первый член $a_1$ и разность прогрессии $d$. Мы можем выразить $n$-й член через известные нам величины, используя формулу $n$-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + d(n-1)$

Теперь подставим это выражение для $a_n$ в основную формулу суммы:

$S_n = \frac{a_1 + (a_1 + d(n-1))}{2} \cdot n$

Упростим выражение в числителе дроби:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Это и есть итоговая формула. Чтобы найти сумму, нужно подставить в неё известные значения первого члена ($a_1$), разности ($d$) и количества членов ($n$).

Ответ: Сумму $n$ первых членов арифметической прогрессии ($S_n$), если известны её первый член ($a_1$) и разность ($d$), можно найти по формуле: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

763. Чему равна сумма семи первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = 9$ и $a_7 = 15?$

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии ($S_n$) можно использовать формулу, которая связывает первый член ($a_1$), $n$-й член ($a_n$) и количество членов ($n$):

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В условии задачи требуется найти сумму семи первых членов, то есть $n=7$. Нам даны значения первого члена $a_1 = 9$ и седьмого члена $a_7 = 15$.

Подставим эти значения в формулу для $S_7$:

$S_7 = \frac{a_1 + a_7}{2} \cdot 7$

$S_7 = \frac{9 + 15}{2} \cdot 7$

Выполним вычисления:

$S_7 = \frac{24}{2} \cdot 7$

$S_7 = 12 \cdot 7$

$S_7 = 84$

Таким образом, сумма семи первых членов данной арифметической прогрессии равна 84.

Ответ: 84

764. Чему равна сумма шести первых членов арифметической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = 19$ и $b_6 = 14$?

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии ($S_n$) можно использовать формулу, которая связывает первый член ($b_1$), $n$-й член ($b_n$) и количество членов ($n$):

$S_n = \frac{b_1 + b_n}{2} \cdot n$

В условии задачи дано:

• Требуется найти сумму шести первых членов, следовательно, $n = 6$.
• Первый член прогрессии $b_1 = 19$.
• Шестой член прогрессии $b_6 = 14$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения суммы $S_6$:

$S_6 = \frac{b_1 + b_6}{2} \cdot 6$

$S_6 = \frac{19 + 14}{2} \cdot 6$

Сначала вычислим сумму в числителе дроби:

$19 + 14 = 33$

Теперь подставим полученный результат обратно в формулу:

$S_6 = \frac{33}{2} \cdot 6$

Можно сократить 6 и 2, что даст 3:

$S_6 = 33 \cdot 3$

Выполним умножение:

$S_6 = 99$

Следовательно, сумма шести первых членов данной арифметической прогрессии равна 99.

Ответ: 99

$(b_n)$, если $b_1 = 15$ и $b_6 = 11$.

765. Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, у которой $a_1 = -6$ и $d=4$.

Для нахождения суммы первых двенадцати членов арифметической прогрессии ($S_{12}$) используется формула суммы первых $n$ членов:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$
где $a_1$ — это первый член прогрессии, $d$ — её разность, а $n$ — количество членов.

По условию задачи нам даны следующие значения:
Первый член $a_1 = -6$.
Разность $d = 4$.
Количество членов $n = 12$.

Подставим эти значения в формулу для вычисления суммы:
$S_{12} = \frac{2 \cdot (-6) + 4 \cdot (12-1)}{2} \cdot 12$

Теперь выполним вычисления по шагам:
1. Сначала вычислим выражение в скобках: $12 - 1 = 11$.
$S_{12} = \frac{2 \cdot (-6) + 4 \cdot 11}{2} \cdot 12$
2. Далее, выполним умножение в числителе дроби:
$S_{12} = \frac{-12 + 44}{2} \cdot 12$
3. Сложим числа в числителе:
$S_{12} = \frac{32}{2} \cdot 12$
4. Разделим числитель на знаменатель:
$S_{12} = 16 \cdot 12$
5. Наконец, выполним последнее умножение:
$S_{12} = 192$

Ответ: 192

766. Вычислите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии $-8, -6, -4, \ldots$

Для того чтобы вычислить сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии, необходимо найти ее первый член $a_1$ и разность $d$.

Заданная арифметическая прогрессия: $-8, -6, -4, \dots$.

Первый член прогрессии $a_1 = -8$.

Разность арифметической прогрессии $d$ — это постоянная величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. Вычислим ее, взяв второй и первый члены:
$d = a_2 - a_1 = -6 - (-8) = -6 + 8 = 2$.

Нам нужно найти сумму первых $n=20$ членов.

Формула для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим в эту формулу известные нам значения: $a_1 = -8$, $d = 2$ и $n = 20$.
$S_{20} = \frac{2 \cdot (-8) + 2 \cdot (20-1)}{2} \cdot 20$

Теперь выполним вычисления по шагам:
1. Вычислим выражение в скобках: $20 - 1 = 19$.
2. Подставим результат в формулу: $S_{20} = \frac{2 \cdot (-8) + 2 \cdot 19}{2} \cdot 20$.
3. Выполним умножение в числителе: $S_{20} = \frac{-16 + 38}{2} \cdot 20$.
4. Выполним сложение в числителе: $S_{20} = \frac{22}{2} \cdot 20$.
5. Выполним деление: $S_{20} = 11 \cdot 20$.
6. Выполним последнее умножение: $S_{20} = 220$.

Ответ: 220

767. Места в секторе цирка расположены так, что в первом ряду 6 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в секторе, если в нём 16 рядов?

Данная задача сводится к нахождению суммы членов арифметической прогрессии. Количество мест в рядах образует последовательность, в которой первый член $a_1$ (количество мест в первом ряду) равен 6, а каждый последующий член на 3 больше предыдущего. Это означает, что разность арифметической прогрессии $d$ равна 3. Всего в секторе 16 рядов, следовательно, число членов прогрессии $n$ равно 16.

Чтобы найти общее количество мест в секторе, необходимо вычислить сумму первых 16 членов этой арифметической прогрессии, $S_{16}$.

Воспользуемся формулой для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Подставим известные значения ($a_1 = 6$, $d = 3$, $n = 16$) в формулу: $S_{16} = \frac{2 \cdot 6 + (16-1) \cdot 3}{2} \cdot 16$

Выполним вычисления в числителе: $2 \cdot 6 + 15 \cdot 3 = 12 + 45 = 57$

Теперь подставим результат в формулу суммы: $S_{16} = \frac{57}{2} \cdot 16$

Сократим дробь, разделив 16 на 2: $S_{16} = 57 \cdot 8$

Вычислим итоговое значение: $57 \cdot 8 = 456$

Таким образом, общее количество мест в секторе составляет 456.

Ответ: 456.

768. Дмитрий взял в библиотеке книгу. За первый день он прочитал 40 страниц, а за каждый следующий день читал на 10 страниц больше, чем за предыдущий. Сколько страниц в книге, если Дмитрий прочитал её за 7 дней?

Решение

Количество страниц, которые Дмитрий читал каждый день, представляет собой арифметическую прогрессию, так как оно ежедневно увеличивалось на одно и то же число. Чтобы найти общее количество страниц в книге, нам нужно найти сумму первых 7 членов этой прогрессии.

Основные параметры этой прогрессии:
- Первый член $a_1$ (количество страниц, прочитанных в первый день) равен 40.
- Разность $d$ (ежедневное увеличение количества страниц) равна 10.
- Количество членов $n$ (общее число дней) равно 7.

Для нахождения суммы можно использовать один из двух способов.

Способ 1: Использование формулы суммы через первый член и разность.

Формула суммы $S_n$ для первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.
Подставим наши значения:
$S_7 = \frac{2 \cdot 40 + 10 \cdot (7-1)}{2} \cdot 7$
$S_7 = \frac{80 + 10 \cdot 6}{2} \cdot 7$
$S_7 = \frac{80 + 60}{2} \cdot 7$
$S_7 = \frac{140}{2} \cdot 7 = 70 \cdot 7 = 490$.

Способ 2: Использование формулы суммы через первый и последний член.

Сначала найдем, сколько страниц Дмитрий прочитал в последний, седьмой день ($a_7$). Для этого используем формулу $n$-го члена прогрессии: $a_n = a_1 + d(n-1)$.
$a_7 = 40 + 10 \cdot (7-1) = 40 + 10 \cdot 6 = 40 + 60 = 100$ страниц.

Теперь применим формулу суммы через первый и последний члены: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_7 = \frac{40 + 100}{2} \cdot 7 = \frac{140}{2} \cdot 7 = 70 \cdot 7 = 490$ страниц.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Таким образом, в книге 490 страниц.

Ответ: 490 страниц.

769. Арифметическая прогрессия ($a_n$) задана формулой $n$-го члена $a_n = -4n + 1$. Найдите сумму тридцати двух первых членов прогрессии.

Для решения задачи нам нужно найти сумму первых тридцати двух членов арифметической прогрессии $(a_n)$, заданной формулой $n$-го члена $a_n = -4n + 1$.

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В нашем случае, нам нужно найти $S_{32}$, то есть $n=32$.

1. Найдем первый член прогрессии $(a_1)$:
Для этого подставим $n=1$ в заданную формулу:
$a_1 = -4 \cdot 1 + 1 = -4 + 1 = -3$

2. Найдем тридцать второй член прогрессии $(a_{32})$:
Для этого подставим $n=32$ в заданную формулу:
$a_{32} = -4 \cdot 32 + 1 = -128 + 1 = -127$

3. Вычислим сумму $S_{32}$:
Теперь подставим найденные значения $a_1 = -3$ и $a_{32} = -127$, а также $n=32$ в формулу суммы:
$S_{32} = \frac{a_1 + a_{32}}{2} \cdot 32 = \frac{-3 + (-127)}{2} \cdot 32$
$S_{32} = \frac{-130}{2} \cdot 32 = -65 \cdot 32$
$S_{32} = -2080$

Ответ: -2080

770. Арифметическая прогрессия ($c_n$) задана формулой $n$-го члена $c_n = 5n - 2$. Найдите сумму двадцати шести первых членов прогрессии.

Дана арифметическая прогрессия $(c_n)$, заданная формулой $n$-го члена $c_n = 5n - 2$. Требуется найти сумму двадцати шести первых членов этой прогрессии, то есть $S_{26}$.

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{c_1 + c_n}{2} \cdot n$

Для нашего случая $n = 26$. Чтобы использовать эту формулу, нам нужно найти первый член прогрессии $(c_1)$ и двадцать шестой член прогрессии $(c_{26})$.

1. Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$ в заданную формулу:
$c_1 = 5 \cdot 1 - 2 = 5 - 2 = 3$.

2. Найдем двадцать шестой член прогрессии, подставив $n=26$ в заданную формулу:
$c_{26} = 5 \cdot 26 - 2 = 130 - 2 = 128$.

3. Теперь, когда у нас есть все необходимые значения ($c_1=3$, $c_{26}=128$ и $n=26$), подставим их в формулу суммы:
$S_{26} = \frac{c_1 + c_{26}}{2} \cdot 26 = \frac{3 + 128}{2} \cdot 26$.

4. Выполним вычисления:
$S_{26} = \frac{131}{2} \cdot 26 = 131 \cdot \frac{26}{2} = 131 \cdot 13 = 1703$.

Ответ: 1703.

771. Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии ($a_n$), если:

1) $a_1 = 6, a_9 = 22;$

2) $a_6 = 49, a_{20} = 7.$

1) Для нахождения суммы первых двенадцати членов арифметической прогрессии ($S_{12}$) используется формула суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$, где $a_1$ — это первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

В данном случае $n=12$, и формула принимает вид: $S_{12} = \frac{2a_1 + (12-1)d}{2} \cdot 12 = 6(2a_1 + 11d)$.

По условию задачи известны первый и девятый члены прогрессии: $a_1 = 6$ и $a_9 = 22$.

Сначала необходимо найти разность прогрессии $d$. Для этого воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

При $n=9$ получаем: $a_9 = a_1 + (9-1)d$.

Подставим известные значения в эту формулу:

$22 = 6 + 8d$

Теперь решим полученное уравнение относительно $d$:

$8d = 22 - 6$

$8d = 16$

$d = \frac{16}{8} = 2$

Теперь, зная $a_1 = 6$ и $d=2$, мы можем вычислить сумму $S_{12}$:

$S_{12} = 6(2a_1 + 11d) = 6(2 \cdot 6 + 11 \cdot 2) = 6(12 + 22) = 6 \cdot 34 = 204$.

Ответ: 204

2) Как и в предыдущем пункте, для нахождения $S_{12}$ нам нужно определить $a_1$ и $d$.

По условию даны шестой и двадцатый члены прогрессии: $a_6 = 49$ и $a_{20} = 7$.

Используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, составим систему из двух уравнений:

Для $n=6$: $a_6 = a_1 + (6-1)d \Rightarrow 49 = a_1 + 5d$.

Для $n=20$: $a_{20} = a_1 + (20-1)d \Rightarrow 7 = a_1 + 19d$.

Получим систему уравнений:

$\begin{cases} a_1 + 5d = 49 \\ a_1 + 19d = 7 \end{cases}$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти разность $d$:

$(a_1 + 19d) - (a_1 + 5d) = 7 - 49$

$14d = -42$

$d = \frac{-42}{14} = -3$

Теперь, зная $d$, подставим его значение в первое уравнение системы, чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 5(-3) = 49$

$a_1 - 15 = 49$

$a_1 = 49 + 15 = 64$

Теперь, когда известны $a_1 = 64$ и $d=-3$, мы можем вычислить сумму $S_{12}$ по формуле $S_{12} = 6(2a_1 + 11d)$:

$S_{12} = 6(2 \cdot 64 + 11 \cdot (-3)) = 6(128 - 33) = 6 \cdot 95 = 570$.

Ответ: 570

772. Чему равна сумма сорока первых членов арифметической прогрессии $(x_n)$, если $x_8 = -14, x_{30} = -9$?

Для нахождения суммы первых сорока членов арифметической прогрессии $(x_n)$ необходимо найти ее первый член $x_1$ и разность $d$. Сумма вычисляется по формуле $S_n = \frac{2x_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

По условию задачи нам известны восьмой и тридцатый члены прогрессии: $x_8 = -14$ и $x_{30} = -9$.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $x_n = x_1 + (n-1)d$.

Используя эту формулу для данных нам членов, составим систему уравнений:

$x_8 = x_1 + (8-1)d \implies x_1 + 7d = -14$

$x_{30} = x_1 + (30-1)d \implies x_1 + 29d = -9$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти разность прогрессии $d$:

$(x_1 + 29d) - (x_1 + 7d) = -9 - (-14)$

$x_1 + 29d - x_1 - 7d = -9 + 14$

$22d = 5$

$d = \frac{5}{22}$

Теперь найдем первый член прогрессии $x_1$, подставив значение $d$ в любое из уравнений системы. Возьмем первое уравнение $x_1 + 7d = -14$:

$x_1 + 7 \cdot \left(\frac{5}{22}\right) = -14$

$x_1 + \frac{35}{22} = -14$

$x_1 = -14 - \frac{35}{22}$

$x_1 = -\frac{14 \cdot 22}{22} - \frac{35}{22} = -\frac{308}{22} - \frac{35}{22} = -\frac{343}{22}$

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления суммы первых сорока членов ($n=40$):

$S_{40} = \frac{2x_1 + (40-1)d}{2} \cdot 40$

$S_{40} = (2x_1 + 39d) \cdot 20$

Подставим найденные значения $x_1 = -\frac{343}{22}$ и $d = \frac{5}{22}$:

$S_{40} = \left(2 \cdot \left(-\frac{343}{22}\right) + 39 \cdot \frac{5}{22}\right) \cdot 20$

$S_{40} = \left(-\frac{686}{22} + \frac{195}{22}\right) \cdot 20$

$S_{40} = \left(\frac{-686 + 195}{22}\right) \cdot 20$

$S_{40} = \frac{-491}{22} \cdot 20$

Сократим дробь:

$S_{40} = \frac{-491 \cdot 10}{11} = -\frac{4910}{11}$

Ответ: $-\frac{4910}{11}$

773. Сколько ударов сделают часы в течение суток, если они отбивают только количество целых часов от 1 до 12?

Чтобы определить, сколько ударов сделают часы за сутки, нужно выполнить два шага: сначала вычислить количество ударов за один 12-часовой цикл, а затем умножить это число на 2, так как в сутках (24 часа) два таких цикла.

1. Вычислим количество ударов за 12 часов. Часы отбивают количество часов, соответствующее времени (в 1 час — 1 удар, в 2 часа — 2 удара, ..., в 12 часов — 12 ударов). Таким образом, нам нужно найти сумму чисел от 1 до 12:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12$

Эта последовательность является арифметической прогрессией. Сумму ее членов можно найти по формуле суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}$, где $n$ — количество членов, $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний член.

В нашем случае $n=12$, $a_1=1$, $a_{12}=12$.

Подставляем значения в формулу: $S_{12} = \frac{12 \cdot (1 + 12)}{2} = \frac{12 \cdot 13}{2} = 6 \cdot 13 = 78$

Следовательно, за 12 часов часы делают 78 ударов.

2. Теперь вычислим общее количество ударов за сутки (24 часа). Поскольку 12-часовой цикл повторяется дважды за сутки (с 00:00 до 12:00 и с 12:00 до 24:00), мы должны умножить количество ударов за 12 часов на 2:

$78 \cdot 2 = 156$

Таким образом, в течение суток часы сделают 156 ударов.

Ответ: 156.