Номер 739, страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

739. В каких случаях для членов арифметической прогрессии выполняется

равенство $a_1 a_4 = a_2^2$?

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Для решения задачи выразим члены прогрессии $a_2$ и $a_4$, участвующие в равенстве, через $a_1$ и $d$:

$a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$

$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$

Теперь подставим полученные выражения в исходное равенство $a_1 a_4 = a_2^2$:

$a_1(a_1 + 3d) = (a_1 + d)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$a_1^2 + 3a_1d = a_1^2 + 2a_1d + d^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$a_1^2 + 3a_1d - a_1^2 - 2a_1d - d^2 = 0$

$a_1d - d^2 = 0$

Вынесем общий множитель $d$ за скобки:

$d(a_1 - d) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда мы получаем два возможных случая, при которых выполняется исходное равенство.

Случай 1: $d = 0$.

Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все члены прогрессии равны её первому члену, то есть $a_n = a_1$ для любого натурального $n$. Такая прогрессия является постоянной последовательностью: $a_1, a_1, a_1, a_1, \dots$.
Проверим исходное равенство для этого случая: $a_1 \cdot a_4 = a_1 \cdot a_1 = a_1^2$. А $a_2^2 = (a_1)^2 = a_1^2$.
Получаем тождество $a_1^2 = a_1^2$. Следовательно, равенство выполняется для любой арифметической прогрессии с нулевой разностью.

Случай 2: $a_1 - d = 0$.

Это условие означает, что $a_1 = d$, то есть первый член прогрессии равен её разности. Такая прогрессия имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d = d + (n-1)d = nd$.
Её члены: $d, 2d, 3d, 4d, \dots$.
Проверим исходное равенство для этого случая:
$a_1 a_4 = d \cdot (4d) = 4d^2$
$a_2^2 = (2d)^2 = 4d^2$
Получаем тождество $4d^2 = 4d^2$. Следовательно, равенство выполняется для любой арифметической прогрессии, у которой первый член равен её разности.

Ответ: Равенство $a_1 a_4 = a_2^2$ для членов арифметической прогрессии выполняется в двух случаях: 1) если разность прогрессии равна нулю ($d=0$); 2) если первый член прогрессии равен её разности ($a_1=d$).