Номер 789, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

789. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, кратных 7.

Трехзначные числа, кратные 7, представляют собой арифметическую прогрессию. Чтобы найти их сумму, нам нужно определить первый член прогрессии ($a_1$), последний член ($a_n$) и их количество ($n$).

1. Находим первый член прогрессии ($a_1$)

Наименьшее трехзначное число — это 100. Чтобы найти первое трехзначное число, кратное 7, разделим 100 на 7:

$100 \div 7 \approx 14.28$

Ближайшее целое число, большее 14.28, это 15. Умножим его на 7:

$15 \times 7 = 105$

Таким образом, первый член нашей прогрессии $a_1 = 105$.

2. Находим последний член прогрессии ($a_n$)

Наибольшее трехзначное число — это 999. Чтобы найти последнее трехзначное число, кратное 7, разделим 999 на 7:

$999 \div 7 \approx 142.71$

Возьмем целую часть от деления, это 142. Умножим ее на 7:

$142 \times 7 = 994$

Таким образом, последний член нашей прогрессии $a_n = 994$.

3. Находим количество членов прогрессии ($n$)

Разность арифметической прогрессии $d$ равна 7. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ и подставим известные значения:

$994 = 105 + (n-1) \times 7$

Выразим $n$:

$994 - 105 = (n-1) \times 7$

$889 = (n-1) \times 7$

$n-1 = \frac{889}{7}$

$n-1 = 127$

$n = 127 + 1 = 128$

Всего существует 128 трехзначных чисел, кратных 7.

4. Находим сумму всех членов прогрессии ($S_n$)

Теперь воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n$

Подставим наши значения:

$S_{128} = \frac{105 + 994}{2} \times 128$

$S_{128} = \frac{1099}{2} \times 128$

$S_{128} = 1099 \times 64$

$S_{128} = 70336$

Ответ: 70336