Номер 794, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

794. Может ли сумма каких-либо пяти последовательных членов арифметической прогрессии $3, 7, 11, \dots$ быть равной 135? В случае утвердительного ответа найдите эти члены.

Дана арифметическая прогрессия, первыми членами которой являются 3, 7, 11. Сначала найдем ее основные параметры. Первый член прогрессии $a_1 = 3$. Разность прогрессии $d$ можно найти как разность между вторым и первым членами: $d = 7 - 3 = 4$.

Формула для n-го члена данной арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1)4$.

Нам нужно выяснить, может ли сумма пяти последовательных членов этой прогрессии быть равной 135. Пусть искомые пять членов — это $a_k, a_{k+1}, a_{k+2}, a_{k+3}, a_{k+4}$ для некоторого номера $k$. Сумма нечетного количества последовательных членов арифметической прогрессии равна произведению их количества на средний член. В нашем случае средний член — третий из пяти, то есть $a_{k+2}$. Следовательно, сумма $S_5$ равна: $S_5 = 5 \cdot a_{k+2}$.

По условию $S_5 = 135$. Подставим это значение в формулу:
$135 = 5 \cdot a_{k+2}$.
Отсюда найдем значение среднего члена: $a_{k+2} = \frac{135}{5} = 27$.

Теперь проверим, является ли 27 членом исходной прогрессии. Для этого нужно найти номер $n$, для которого $a_n = 27$.
$3 + (n-1)4 = 27$
$(n-1)4 = 27 - 3$
$(n-1)4 = 24$
$n-1 = \frac{24}{4}$
$n-1 = 6$
$n = 7$.

Поскольку мы получили натуральное число $n=7$, это означает, что 27 является седьмым членом прогрессии. Таким образом, ответ на вопрос — да, может. Средний из пяти искомых членов — это $a_7=27$.

Осталось найти остальные четыре члена. Это будут два предыдущих и два последующих члена: $a_5, a_6, a_7, a_8, a_9$. Зная, что $a_7 = 27$ и $d=4$, находим:
$a_6 = a_7 - d = 27 - 4 = 23$
$a_5 = a_6 - d = 23 - 4 = 19$
$a_8 = a_7 + d = 27 + 4 = 31$
$a_9 = a_8 + d = 31 + 4 = 35$
Искомые пять членов: 19, 23, 27, 31, 35.

Ответ: Да, может. Эти члены: 19, 23, 27, 31, 35.