Номер 801, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

801. Первый член арифметической прогрессии равен 100, а сумма шести первых членов в 5 раз больше суммы следующих шести членов. Чему равна разность прогрессии?

Пусть $a_n$ — заданная арифметическая прогрессия, $a_1$ — её первый член, а $d$ — разность прогрессии.

По условию задачи, первый член прогрессии равен 100, то есть $a_1 = 100$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Найдем сумму первых шести членов прогрессии ($S_6$): $S_6 = \frac{2a_1 + (6-1)d}{2} \cdot 6 = (2a_1 + 5d) \cdot 3 = 6a_1 + 15d$.

Следующие шесть членов — это члены с седьмого по двенадцатый включительно. Их сумму можно найти как разность между суммой первых двенадцати членов ($S_{12}$) и суммой первых шести членов ($S_6$).

Найдем сумму первых двенадцати членов ($S_{12}$): $S_{12} = \frac{2a_1 + (12-1)d}{2} \cdot 12 = (2a_1 + 11d) \cdot 6 = 12a_1 + 66d$.

Теперь найдем сумму следующих шести членов (с 7-го по 12-й): $S_{7-12} = S_{12} - S_6 = (12a_1 + 66d) - (6a_1 + 15d) = 6a_1 + 51d$.

По условию, сумма первых шести членов в 5 раз больше суммы следующих шести членов. Составим уравнение: $S_6 = 5 \cdot S_{7-12}$ $6a_1 + 15d = 5(6a_1 + 51d)$

Подставим известное значение $a_1 = 100$ и решим уравнение относительно $d$: $6(100) + 15d = 5(6(100) + 51d)$ $600 + 15d = 5(600 + 51d)$ $600 + 15d = 3000 + 255d$

Перенесем члены с $d$ в одну сторону, а свободные члены — в другую: $15d - 255d = 3000 - 600$ $-240d = 2400$ $d = \frac{2400}{-240}$ $d = -10$

Ответ: -10