Номер 797, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

797. Сумма нечётных номеров страниц книги является нечётным числом, большим 400 и меньшим 500. Сколько страниц в книге?

Пусть $n$ — это количество нечётных страниц в книге. Нечётные номера страниц образуют арифметическую прогрессию: $1, 3, 5, \dots$. Сумма первых $n$ членов этой прогрессии (то есть сумма первых $n$ нечётных чисел) вычисляется по формуле $S_n = n^2$.

По условию задачи, эта сумма $S$ является нечётным числом, которое больше 400 и меньше 500. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$400 < S < 500$

Подставим в это неравенство формулу для суммы $S = n^2$:

$400 < n^2 < 500$

Чтобы найти возможные значения $n$, извлечём квадратный корень из всех частей неравенства:

$\sqrt{400} < n < \sqrt{500}$

Вычислим значения корней: $\sqrt{400} = 20$, а $\sqrt{500} = \sqrt{100 \cdot 5} = 10\sqrt{5} \approx 10 \cdot 2.236 = 22.36$.

Таким образом, $20 < n < 22.36$.

Поскольку $n$ (количество страниц) может быть только целым числом, то возможными значениями для $n$ являются 21 и 22.

В условии также сказано, что сумма $S = n^2$ — нечётное число. Квадрат целого числа $n^2$ является нечётным тогда и только тогда, когда само число $n$ нечётно.

Среди двух возможных значений ($n=21$ и $n=22$) нечётным является только $n=21$.

Значит, в книге 21 нечётная страница. Сумма их номеров равна $S = 21^2 = 441$. Это значение удовлетворяет всем условиям: $400 < 441 < 500$ и 441 — нечётное число.

Теперь найдём общее количество страниц в книге. Если в книге 21 нечётная страница, то это страницы с номерами $1, 3, 5, \dots$. Последняя нечётная страница будет иметь номер $2 \cdot 21 - 1 = 41$.

Это означает, что самая последняя страница в книге (с самым большим номером) должна быть не меньше 41. Если бы в книге было 43 страницы, то страница с номером 43 (нечётная) тоже вошла бы в сумму, что противоречит нашему выводу о том, что нечётных страниц ровно 21.

Следовательно, общее количество страниц в книге может быть 41 или 42.

• Если в книге 41 страница, то последняя страница имеет номер 41 (нечётный). Нечётные страницы — это $1, 3, \dots, 41$. Их количество — 21. Это удовлетворяет условию.
• Если в книге 42 страницы, то последняя страница имеет номер 42 (чётный). Нечётные страницы — это по-прежнему $1, 3, \dots, 41$. Их количество также 21. Это тоже удовлетворяет условию.

Поскольку условие задачи не даёт дополнительной информации для выбора между этими двумя вариантами, оба являются правильными.

Ответ: в книге может быть 41 или 42 страницы.