Номер 798, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

798. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с восьмого по двадцать шестой включительно, если первый член прогрессии равен 24, а разность прогрессии равна -8.

Для решения задачи необходимо найти сумму членов арифметической прогрессии с восьмого по двадцать шестой включительно. Обозначим эту сумму как $S_{8-26}$.

Нам даны следующие параметры арифметической прогрессии:

Первый член прогрессии: $a_1 = 24$.

Разность прогрессии: $d = -8$.

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Нахождение суммы как отдельной прогрессии

1. Сначала найдем восьмой ($a_8$) и двадцать шестой ($a_{26}$) члены прогрессии, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Для восьмого члена ($n=8$):

$a_8 = 24 + (8-1) \cdot (-8) = 24 + 7 \cdot (-8) = 24 - 56 = -32$

Для двадцать шестого члена ($n=26$):

$a_{26} = 24 + (26-1) \cdot (-8) = 24 + 25 \cdot (-8) = 24 - 200 = -176$

2. Теперь мы можем рассматривать сумму с 8-го по 26-й член как сумму новой арифметической прогрессии, у которой первый член равен $a_8$, а последний — $a_{26}$. Найдем количество членов в этой новой последовательности:

$k = 26 - 8 + 1 = 19$

3. Используем формулу суммы арифметической прогрессии $S_k = \frac{k}{2}(a_{первый} + a_{последний})$:

$S_{8-26} = \frac{19}{2}(a_8 + a_{26}) = \frac{19}{2}(-32 + (-176)) = \frac{19}{2}(-208) = 19 \cdot (-104) = -1976$

Способ 2: Использование разности сумм

1. Искомую сумму можно найти как разность между суммой первых 26 членов ($S_{26}$) и суммой первых 7 членов ($S_7$).

$S_{8-26} = S_{26} - S_7$

2. Используем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$.

Найдем сумму первых 26 членов:

$S_{26} = \frac{26}{2}(2 \cdot 24 + (26-1) \cdot (-8)) = 13(48 + 25 \cdot (-8)) = 13(48 - 200) = 13 \cdot (-152) = -1976$

Найдем сумму первых 7 членов:

$S_7 = \frac{7}{2}(2 \cdot 24 + (7-1) \cdot (-8)) = \frac{7}{2}(48 + 6 \cdot (-8)) = \frac{7}{2}(48 - 48) = \frac{7}{2} \cdot 0 = 0$

3. Вычислим искомую сумму:

$S_{8-26} = S_{26} - S_7 = -1976 - 0 = -1976$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $-1976$.