Номер 799, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

799. Найдите сумму членов арифметической прогрессии $(x_n)$ с десятого по двадцать пятый включительно, если $x_1 = -3$ и $x_{11} = 12$.

Пусть $(x_n)$ — заданная арифметическая прогрессия с первым членом $x_1$ и разностью $d$. По условию задачи $x_1 = -3$ и $x_{11} = 12$. Необходимо найти сумму членов с десятого по двадцать пятый включительно, которую обозначим как $S$.

1. Нахождение разности прогрессии

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $x_n = x_1 + d(n-1)$. Используя данные для одиннадцатого члена, мы можем найти разность $d$:
$x_{11} = x_1 + d(11-1)$
$12 = -3 + 10d$
$10d = 12 + 3$
$10d = 15$
$d = \frac{15}{10} = 1.5$

2. Нахождение десятого и двадцать пятого членов прогрессии

Чтобы найти сумму членов с десятого по двадцать пятый, нам нужно знать значения этих членов.
Найдём десятый член $x_{10}$:
$x_{10} = x_1 + d(10-1) = -3 + 1.5 \cdot 9 = -3 + 13.5 = 10.5$
Найдём двадцать пятый член $x_{25}$:
$x_{25} = x_1 + d(25-1) = -3 + 1.5 \cdot 24 = -3 + 36 = 33$

3. Вычисление искомой суммы

Сумма членов арифметической прогрессии с $m$-го по $n$-й включительно вычисляется по формуле $S = \frac{x_m + x_n}{2} \cdot (n - m + 1)$.
В нашем случае $m=10$, $n=25$. Количество членов в сумме равно $25 - 10 + 1 = 16$.
Подставим найденные значения $x_{10}$ и $x_{25}$ в формулу:
$S = \frac{x_{10} + x_{25}}{2} \cdot 16$
$S = \frac{10.5 + 33}{2} \cdot 16$
$S = \frac{43.5}{2} \cdot 16$
$S = 43.5 \cdot 8$
$S = 348$

Ответ: 348