Номер 806, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

806. Решите уравнение:

1) $11 + 19 + 27 + \dots + (8n + 3) = 470$, где $n$ — натуральное число;

2) $1 + 5 + 9 + \dots + x = 630$, где $x$ — натуральное число.

1) $11 + 19 + 27 + ... + (8n + 3) = 470$, где $n$ — натуральное число.

Левая часть уравнения представляет собой сумму членов арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = 11$.
Найдем разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = 19 - 11 = 8$.
Общий член арифметической прогрессии имеет вид $a_k = a_1 + (k-1)d$.
В нашем случае $a_k = 11 + (k-1)8 = 11 + 8k - 8 = 8k + 3$.
Последний член прогрессии равен $(8n+3)$, что соответствует $k=n$. Следовательно, в сумме $n$ членов.
Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим известные значения: $a_1 = 11$, $a_n = 8n + 3$, $S_n = 470$.
$\frac{11 + (8n + 3)}{2} \cdot n = 470$
$\frac{14 + 8n}{2} \cdot n = 470$
$(7 + 4n) \cdot n = 470$
$7n + 4n^2 = 470$
$4n^2 + 7n - 470 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-470) = 49 + 16 \cdot 470 = 49 + 7520 = 7569$.
$\sqrt{D} = \sqrt{7569} = 87$.
Найдем корни уравнения: $n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 87}{2 \cdot 4} = \frac{80}{8} = 10$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 87}{2 \cdot 4} = \frac{-94}{8} = -11.75$
По условию задачи, $n$ — натуральное число, поэтому корень $n_2 = -11.75$ не подходит.
Единственным решением является $n=10$.

Ответ: $n = 10$.

2) $1 + 5 + 9 + ... + x = 630$, где $x$ — натуральное число.

Левая часть уравнения также является суммой членов арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = 1$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 5 - 1 = 4$.
Последний член прогрессии $a_n = x$.
Выразим число членов $n$ через $x$. Формула $n$-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$x = 1 + (n-1)4$
$x = 1 + 4n - 4$
$x = 4n - 3$
Отсюда можно выразить $n$: $4n = x+3$, $n = \frac{x+3}{4}$.
Теперь используем формулу суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим известные значения: $a_1 = 1$, $a_n = x$, $S_n = 630$.
$\frac{1 + x}{2} \cdot \frac{x+3}{4} = 630$
$\frac{(x+1)(x+3)}{8} = 630$
$(x+1)(x+3) = 630 \cdot 8$
$x^2 + 3x + x + 3 = 5040$
$x^2 + 4x + 3 = 5040$
$x^2 + 4x - 5037 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5037) = 16 + 20148 = 20164$.
$\sqrt{D} = \sqrt{20164} = 142$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 142}{2} = \frac{138}{2} = 69$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 142}{2} = \frac{-146}{2} = -73$
По условию задачи, $x$ — натуральное число, поэтому корень $x_2 = -73$ не подходит.
Проверим, является ли $x=69$ членом данной прогрессии. $x = 4n - 3 \implies 69 = 4n-3 \implies 4n=72 \implies n=18$. Так как $n=18$ является натуральным числом, то $x=69$ является 18-м членом прогрессии.

Ответ: $x = 69$.