Номер 810, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

810. Найдите сумму всех двузначных чисел, которые не делятся нацело ни на 3, ни на 5.

Для решения этой задачи мы найдем сумму всех двузначных чисел, а затем, используя принцип включений-исключений, вычтем из нее сумму всех двузначных чисел, которые делятся на 3 или на 5.

1. Найдем сумму всех двузначных чисел.
Двузначные числа представляют собой арифметическую прогрессию, начинающуюся с $a_1 = 10$ и заканчивающуюся $a_n = 99$.Всего двузначных чисел: $n = 99 - 10 + 1 = 90$.Сумма всех двузначных чисел $S_{всех}$ вычисляется по формуле суммы арифметической прогрессии:$S_{всех} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905$.

2. Найдем сумму двузначных чисел, которые делятся на 3.
Эти числа также образуют арифметическую прогрессию. Первый член, кратный 3, это $b_1 = 12$, а последний — $b_m = 99$. Разность прогрессии $d=3$.Количество таких чисел: $m = \frac{99 - 12}{3} + 1 = \frac{87}{3} + 1 = 29 + 1 = 30$.Сумма этих чисел $S_3$:$S_3 = \frac{12 + 99}{2} \cdot 30 = 111 \cdot 15 = 1665$.

3. Найдем сумму двузначных чисел, которые делятся на 5.
Это тоже арифметическая прогрессия. Первый член, кратный 5, это $c_1 = 10$, а последний — $c_k = 95$. Разность прогрессии $d=5$.Количество таких чисел: $k = \frac{95 - 10}{5} + 1 = \frac{85}{5} + 1 = 17 + 1 = 18$.Сумма этих чисел $S_5$:$S_5 = \frac{10 + 95}{2} \cdot 18 = 105 \cdot 9 = 945$.

4. Найдем сумму двузначных чисел, которые делятся и на 3, и на 5.
Числа, которые делятся одновременно на 3 и на 5, делятся на их наименьшее общее кратное, то есть на 15. Сумму этих чисел ($S_{15}$) мы учли дважды (в $S_3$ и в $S_5$), поэтому ее нужно будет вычесть.Эти числа: 15, 30, 45, 60, 75, 90. Всего их 6.Их сумма $S_{15}$:$S_{15} = \frac{15 + 90}{2} \cdot 6 = 105 \cdot 3 = 315$.

5. Вычислим искомую сумму.
Сумма чисел, которые делятся на 3 или на 5, равна $S_{3 \text{ или } 5} = S_3 + S_5 - S_{15}$.$S_{3 \text{ или } 5} = 1665 + 945 - 315 = 2610 - 315 = 2295$.Теперь найдем сумму чисел, которые не делятся ни на 3, ни на 5. Для этого из общей суммы всех двузначных чисел вычтем сумму чисел, которые делятся на 3 или на 5:$S = S_{всех} - S_{3 \text{ или } 5} = 4905 - 2295 = 2610$.

Ответ: 2610.