Номер 807, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

807. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, у которой среднее арифметическое $n$ первых членов при любом $n$ равно их количеству.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии ($S_n$) вычисляется по формуле:$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Среднее арифметическое первых $n$ членов равно их сумме, делённой на их количество:$\frac{S_n}{n} = \frac{\frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n}{n} = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2}$

По условию задачи, среднее арифметическое первых $n$ членов при любом $n$ равно их количеству, то есть $n$. Запишем это в виде уравнения:$\frac{2a_1 + (n-1)d}{2} = n$

Это равенство должно выполняться для любого натурального числа $n$. Преобразуем уравнение:$2a_1 + (n-1)d = 2n$$2a_1 + nd - d = 2n$$nd - 2n + 2a_1 - d = 0$$(d-2)n + (2a_1 - d) = 0$

Мы получили линейное уравнение относительно переменной $n$. Поскольку это равенство должно быть верным для любого значения $n \ge 1$, это возможно только в том случае, если коэффициенты при $n$ и свободный член равны нулю. Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:

1) $d - 2 = 0$
2) $2a_1 - d = 0$

Из первого уравнения находим разность прогрессии:$d = 2$

Подставим найденное значение $d$ во второе уравнение, чтобы найти первый член прогрессии:$2a_1 - 2 = 0$$2a_1 = 2$$a_1 = 1$

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен 1, а её разность равна 2.

Ответ: первый член равен 1, разность равна 2.