Номер 809, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

809. Докажите, что если сумма $n$ первых членов последовательности вычисляется по формуле $S_n = n^2 - 3n$, то эта последовательность является арифметической прогрессией. Найдите первый член и разность этой прогрессии.

Доказательство, что последовательность является арифметической прогрессией

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом $d$. Это число $d$ называется разностью прогрессии. Чтобы доказать, что последовательность является арифметической, нужно показать, что разность $a_n - a_{n-1}$ является постоянной величиной для всех $n \ge 2$.

По условию, сумма $n$ первых членов последовательности вычисляется по формуле:$S_n = n^2 - 3n$

Любой член последовательности $a_n$ (при $n \ge 2$) можно найти как разность между суммой $n$ первых членов $S_n$ и суммой $n-1$ первых членов $S_{n-1}$:$a_n = S_n - S_{n-1}$

Найдем выражение для $S_{n-1}$, подставив в заданную формулу $(n-1)$ вместо $n$:$S_{n-1} = (n-1)^2 - 3(n-1) = (n^2 - 2n + 1) - (3n - 3) = n^2 - 2n + 1 - 3n + 3 = n^2 - 5n + 4$

Теперь найдем формулу для $n$-го члена последовательности:$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - 3n) - (n^2 - 5n + 4) = n^2 - 3n - n^2 + 5n - 4 = 2n - 4$

Итак, мы получили формулу для $n$-го члена последовательности: $a_n = 2n - 4$.

Теперь найдем разность между $n$-м и $(n-1)$-м членами, чтобы проверить, является ли она постоянной:$d = a_n - a_{n-1} = (2n - 4) - (2(n-1) - 4) = (2n - 4) - (2n - 2 - 4) = (2n - 4) - (2n - 6) = 2n - 4 - 2n + 6 = 2$

Разность $d=2$ является постоянной величиной, не зависящей от $n$. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией, что и требовалось доказать.

Нахождение первого члена и разности этой прогрессии

Разность прогрессии $d$ была найдена в ходе доказательства и равна 2.

Первый член прогрессии $a_1$ можно найти, вычислив $S_1$, так как сумма первого члена равна самому первому члену:$a_1 = S_1 = 1^2 - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = -2$

Также можно было использовать найденную общую формулу $a_n = 2n - 4$ для $n=1$:$a_1 = 2 \cdot 1 - 4 = -2$

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: доказано, что последовательность является арифметической. Первый член прогрессии $a_1 = -2$, разность прогрессии $d = 2$.