Номер 802, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

802. Разность арифметической прогрессии равна 28, а сумма пяти первых членов в 4 раза меньше суммы следующих шести членов. Чему равен первый член прогрессии?

Пусть $a_1$ — искомый первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. По условию задачи, разность прогрессии равна 28, то есть $d = 28$.

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Сумма первых пяти членов прогрессии, $S_5$, равна: $S_5 = \frac{2a_1 + d(5-1)}{2} \cdot 5 = \frac{2a_1 + 4d}{2} \cdot 5 = (a_1 + 2d) \cdot 5 = 5a_1 + 10d$.

Следующие шесть членов прогрессии — это члены с шестого ($a_6$) по одиннадцатый ($a_{11}$). Их сумма ($S_{6-11}$) может быть вычислена как разность суммы первых одиннадцати членов ($S_{11}$) и суммы первых пяти членов ($S_5$).

Сумма первых одиннадцати членов, $S_{11}$, равна: $S_{11} = \frac{2a_1 + d(11-1)}{2} \cdot 11 = \frac{2a_1 + 10d}{2} \cdot 11 = (a_1 + 5d) \cdot 11 = 11a_1 + 55d$.

Следовательно, сумма следующих шести членов равна: $S_{6-11} = S_{11} - S_5 = (11a_1 + 55d) - (5a_1 + 10d) = 6a_1 + 45d$.

Согласно условию, сумма пяти первых членов в 4 раза меньше суммы следующих шести членов. Запишем это в виде уравнения: $S_{6-11} = 4 \cdot S_5$.

Подставим в это уравнение полученные выражения для $S_5$ и $S_{6-11}$: $6a_1 + 45d = 4(5a_1 + 10d)$.

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $a_1$: $6a_1 + 45d = 20a_1 + 40d$.

Перенесем слагаемые, содержащие $a_1$, в правую часть, а слагаемые, содержащие $d$, — в левую: $45d - 40d = 20a_1 - 6a_1$ $5d = 14a_1$.

Теперь подставим известное значение разности $d = 28$: $5 \cdot 28 = 14a_1$ $140 = 14a_1$.

Отсюда находим $a_1$: $a_1 = \frac{140}{14}$ $a_1 = 10$.

Ответ: 10.