Номер 804, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

804. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_5 + a_{10} + a_{12} + a_{15} = 50$.

Для решения задачи нам понадобятся формулы для n-го члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ имеет вид:$a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ – первый член прогрессии, а $d$ – её разность.

Воспользуемся этой формулой, чтобы выразить члены, данные в условии, через $a_1$ и $d$:
$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$
$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$
$a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d$
$a_{15} = a_1 + (15-1)d = a_1 + 14d$

Теперь подставим эти выражения в данное равенство $a_5 + a_{10} + a_{12} + a_{15} = 50$:
$(a_1 + 4d) + (a_1 + 9d) + (a_1 + 11d) + (a_1 + 14d) = 50$

Сгруппируем и сложим слагаемые с $a_1$ и с $d$:
$(a_1 + a_1 + a_1 + a_1) + (4d + 9d + 11d + 14d) = 50$
$4a_1 + 38d = 50$

Вынесем общий множитель 2 за скобки в левой части уравнения:
$2(2a_1 + 19d) = 50$

Разделим обе части уравнения на 2:
$2a_1 + 19d = 25$

Теперь запишем формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Нам нужно найти сумму первых двадцати членов, то есть $S_{20}$. Подставим $n=20$ в формулу суммы:
$S_{20} = \frac{2a_1 + (20-1)d}{2} \cdot 20$
$S_{20} = \frac{2a_1 + 19d}{2} \cdot 20$
$S_{20} = (2a_1 + 19d) \cdot 10$

Мы уже нашли, что выражение в скобках равно 25. Подставим это значение в формулу для $S_{20}$:
$S_{20} = 25 \cdot 10 = 250$

Ответ: 250