Номер 808, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Докажите, что в арифметической прогрессии с чётным количеством членов, состоящей из целых чисел, сумма второй половины больше суммы первой половины на число, кратное квадрату половины количества членов.

Пусть дана арифметическая прогрессия $\{a_k\}$, состоящая из целых чисел, с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Поскольку все члены прогрессии — целые числа, то и первый член $a_1$, и разность $d = a_2 - a_1$ должны быть целыми числами, то есть $a_1 \in \mathbb{Z}$ и $d \in \mathbb{Z}$.

По условию, количество членов прогрессии чётно. Обозначим его как $2n$, где $n$ — натуральное число. Таким образом, $n$ — это половина количества членов прогрессии.

Первая половина прогрессии состоит из $n$ членов: $a_1, a_2, \dots, a_n$. Сумма этих членов равна $S_1 = \sum_{k=1}^{n} a_k$.

Вторая половина прогрессии состоит из следующих $n$ членов: $a_{n+1}, a_{n+2}, \dots, a_{2n}$. Сумма этих членов равна $S_2 = \sum_{k=n+1}^{2n} a_k$.

Нам необходимо доказать, что сумма второй половины $S_2$ больше суммы первой половины $S_1$ на число, кратное $n^2$. Для этого найдем разность $S_2 - S_1$.

$S_2 - S_1 = (a_{n+1} + a_{n+2} + \dots + a_{2n}) - (a_1 + a_2 + \dots + a_n)$

Сгруппируем слагаемые попарно:$S_2 - S_1 = (a_{n+1} - a_1) + (a_{n+2} - a_2) + \dots + (a_{2n} - a_n)$.

Эту сумму можно записать с использованием знака суммирования:$S_2 - S_1 = \sum_{k=1}^{n} (a_{n+k} - a_k)$

Теперь найдем разность для каждой пары членов $a_{n+k}$ и $a_k$. Используем формулу для $m$-го члена арифметической прогрессии: $a_m = a_1 + (m-1)d$.$a_{n+k} - a_k = (a_1 + (n+k-1)d) - (a_1 + (k-1)d) = (a_1 - a_1) + ((n+k-1) - (k-1))d = nd$.

Как видим, разность для каждой пары членов постоянна и равна $nd$. Подставим это значение обратно в сумму:$S_2 - S_1 = \sum_{k=1}^{n} (nd)$.

Сумма состоит из $n$ одинаковых слагаемых, равных $nd$. Таким образом,$S_2 - S_1 = n \cdot (nd) = n^2d$.

Проанализируем полученный результат.

Во-первых, нам нужно доказать, что разность $S_2 - S_1$ кратна квадрату половины количества членов. Половина количества членов — это $n$, а ее квадрат — $n^2$. Мы получили, что разность равна $n^2d$. Поскольку $d$ является целым числом, произведение $n^2d$ по определению кратно $n^2$.

Во-вторых, докажем, что сумма второй половины больше суммы первой, то есть $S_2 > S_1$. Это эквивалентно неравенству $S_2 - S_1 > 0$, или $n^2d > 0$. Так как $n$ — натуральное число, $n^2$ всегда положительно. Следовательно, знак разности определяется знаком $d$. Формулировка "сумма второй половины больше суммы первой" подразумевает, что прогрессия является возрастающей, то есть $d > 0$. Так как $d$ — целое число, это означает $d \ge 1$. При этом условии $n^2d > 0$, и $S_2 > S_1$. Если бы прогрессия была убывающей ($d<0$), то сумма второй половины была бы меньше, а для постоянной прогрессии ($d=0$) суммы были бы равны.

Таким образом, утверждение задачи полностью доказано при естественном предположении, что прогрессия является возрастающей.

Ответ: Разность между суммой второй половины и суммой первой половины членов прогрессии равна $n^2d$, где $n$ — половина количества членов, а $d$ — целочисленная разность прогрессии. Так как $d$ — целое число, эта разность кратна $n^2$. Для возрастающей прогрессии ($d > 0$), сумма второй половины больше суммы первой, что и требовалось доказать.