Номер 812, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

812. Вычислите:

1) $\frac{3^{49}}{9^{25}};$

2) $\frac{4^8}{8^4};$

3) $\frac{5^4 \cdot 11^7}{5^6};$

4) $\frac{12^5}{18^3}.$

Чтобы вычислить значение дроби $\frac{3^{49}}{9^{25}}$, необходимо привести степени к одному основанию. Основание знаменателя $9$ можно представить как степень числа $3$, поскольку $9 = 3^2$.
Заменим $9$ на $3^2$ в знаменателе:
$9^{25} = (3^2)^{25}$
По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$(3^2)^{25} = 3^{2 \cdot 25} = 3^{50}$
Теперь исходное выражение можно переписать так:
$\frac{3^{49}}{3^{50}}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, согласно свойству $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{3^{49}}{3^{50}} = 3^{49-50} = 3^{-1}$
Степень с отрицательным показателем равна обратному числу, возведенному в степень с положительным показателем:
$3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

Для вычисления выражения $\frac{4^8}{8^4}$ приведем основания степеней $4$ и $8$ к общему основанию $2$.
Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.
Подставим эти значения в исходную дробь:
Числитель: $4^8 = (2^2)^8 = 2^{2 \cdot 8} = 2^{16}$
Знаменатель: $8^4 = (2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$
Теперь выражение выглядит так:
$\frac{2^{16}}{2^{12}}$
Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием:
$2^{16-12} = 2^4$
Вычислим полученное значение:
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$
Ответ: 16

Рассмотрим выражение $\frac{5^4 \cdot 11^7}{55^6}$.
Представим основание знаменателя $55$ в виде произведения его простых множителей: $55 = 5 \cdot 11$.
Тогда знаменатель $55^6$ можно записать как $(5 \cdot 11)^6$.
Используя свойство возведения произведения в степень $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, получаем:
$55^6 = 5^6 \cdot 11^6$
Подставим это разложение в исходную дробь:
$\frac{5^4 \cdot 11^7}{5^6 \cdot 11^6}$
Теперь сгруппируем дроби с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней:
$\frac{5^4}{5^6} \cdot \frac{11^7}{11^6} = 5^{4-6} \cdot 11^{7-6} = 5^{-2} \cdot 11^1$
Вычислим значение каждого множителя:
$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$
$11^1 = 11$
Перемножим полученные результаты:
$\frac{1}{25} \cdot 11 = \frac{11}{25}$
Ответ: $\frac{11}{25}$

Для вычисления дроби $\frac{12^5}{18^3}$ разложим основания $12$ и $18$ на простые множители.
$12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$
Теперь подставим эти разложения в степени:
Числитель: $12^5 = (2^2 \cdot 3)^5 = (2^2)^5 \cdot 3^5 = 2^{10} \cdot 3^5$
Знаменатель: $18^3 = (2 \cdot 3^2)^3 = 2^3 \cdot (3^2)^3 = 2^3 \cdot 3^6$
Дробь принимает следующий вид:
$\frac{2^{10} \cdot 3^5}{2^3 \cdot 3^6}$
Разделим степени с одинаковыми основаниями, вычитая их показатели:
$\frac{2^{10}}{2^3} \cdot \frac{3^5}{3^6} = 2^{10-3} \cdot 3^{5-6} = 2^7 \cdot 3^{-1}$
Вычислим конечное значение:
$2^7 \cdot 3^{-1} = 128 \cdot \frac{1}{3} = \frac{128}{3}$
Это значение также можно записать в виде смешанного числа $42\frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{128}{3}$