Номер 3, страница 233 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Какой вид имеет формула $n$-го члена геометрической прогрессии?

2. Знаменателем геометрической прогрессии называют число, на которое нужно умножить предыдущий член прогрессии, чтобы получить следующий. Это постоянная величина для данной прогрессии, и она не может быть равна нулю. Обозначается знаменатель обычно буквой `$q$`. Для любой геометрической прогрессии `$(b_n)$`, состоящей из ненулевых членов, знаменатель `$q$` можно найти как отношение любого последующего члена к предыдущему: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$. Например, в прогрессии 2, 6, 18, 54, ... знаменатель равен $q = \frac{6}{2} = 3$.
Ответ: Знаменателем геометрической прогрессии называют постоянное для данной последовательности число `$q$`, равное отношению любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену.

3. Формула n-го члена геометрической прогрессии позволяет найти любой член последовательности по его номеру `$n$`, зная первый член `$b_1$` и знаменатель `$q$`. Вывод формулы основывается на определении геометрической прогрессии. Если `$b_1$` - первый член, а `$q$` - знаменатель, то:
второй член `$b_2 = b_1 \cdot q = b_1 \cdot q^{2-1}$`
третий член `$b_3 = b_2 \cdot q = (b_1 \cdot q) \cdot q = b_1 \cdot q^2 = b_1 \cdot q^{3-1}$`
четвертый член `$b_4 = b_3 \cdot q = (b_1 \cdot q^2) \cdot q = b_1 \cdot q^3 = b_1 \cdot q^{4-1}$`
Обобщая эту закономерность, получаем общую формулу для любого члена с номером `$n$`. Она выражает n-й член `$b_n$` через первый член `$b_1$`, знаменатель `$q$` и номер члена `$n$`.
Ответ: Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.