Номер 4, страница 233 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Как связаны между собой три последовательных члена геометрической прогрессии?

Три последовательных члена геометрической прогрессии связаны между собой так называемым характеристическим свойством геометрической прогрессии.

Пусть даны три последовательных члена геометрической прогрессии: $b_{n-1}$, $b_n$ и $b_{n+1}$, где $n$ — номер члена, начиная со второго ($n \ge 2$).

По определению геометрической прогрессии, каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на постоянное для данной прогрессии число — знаменатель прогрессии $q$ ($q \ne 0$). Таким образом, можно записать следующие равенства:
$b_n = b_{n-1} \cdot q$
$b_{n+1} = b_n \cdot q$

Из этих двух равенств выразим знаменатель $q$:
$q = \frac{b_n}{b_{n-1}}$
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

Поскольку знаменатель $q$ является постоянной величиной для всей прогрессии, мы можем приравнять правые части полученных выражений:
$\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

Применив основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), мы получим искомое соотношение:
$b_n \cdot b_n = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$
$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$

Это равенство и является ключевой связью между тремя последовательными членами. Словесно его можно сформулировать так: квадрат любого члена геометрической прогрессии (начиная со второго) равен произведению двух соседних с ним членов — предыдущего и последующего.

Из этого свойства также следует, что модуль любого члена прогрессии (начиная со второго) является средним геометрическим его соседних членов: $|b_n| = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$. Для прогрессии с положительными членами формула упрощается до $b_n = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$.

Пример:
Рассмотрим геометрическую прогрессию: 2, 10, 50, ...
Возьмем три последовательных члена: $b_1=2$, $b_2=10$, $b_3=50$.
Проверим свойство для среднего члена $b_2=10$:
Квадрат среднего члена: $b_2^2 = 10^2 = 100$.
Произведение соседних членов: $b_1 \cdot b_3 = 2 \cdot 50 = 100$.
Поскольку $100 = 100$, свойство выполняется.

Ответ: Квадрат любого среднего из трех последовательных членов геометрической прогрессии равен произведению двух других (соседних) членов. Если обозначить эти члены как $b_{n-1}$, $b_n$ и $b_{n+1}$, то их связь выражается формулой: $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.