Страница 233 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какую последовательность называют геометрической прогрессией?

1.

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, все члены которой отличны от нуля, и каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же постоянное для данной последовательности число.

Это постоянное число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой $q$.

Формально, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией, если для любого натурального числа $n$ выполняются следующие условия:
1. $b_n \neq 0$ (все члены отличны от нуля).
2. Существует такое число $q \neq 0$ (знаменатель прогрессии), что выполняется равенство:
$b_{n+1} = b_n \cdot q$

Из этого определения следует, что знаменатель прогрессии можно найти как отношение любого её члена (начиная со второго) к предыдущему: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$.

Формула для нахождения $n$-го члена геометрической прогрессии, зная её первый член $b_1$ и знаменатель $q$, выглядит так:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Пример:
Последовательность чисел 2, 6, 18, 54, ... является геометрической прогрессией.
- Её первый член $b_1 = 2$.
- Знаменатель $q = \frac{6}{2} = 3$.
- Каждый следующий член получается умножением предыдущего на 3: $6 = 2 \cdot 3$, $18 = 6 \cdot 3$ и так далее.

Ответ: Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый последующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называемое знаменателем прогрессии.

2. Какое число называют знаменателем геометрической прогрессии?

1. Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
Это означает, что для последовательности $b_1, b_2, b_3, \dots, b_n, \dots$ выполняются следующие условия:
1. Все члены последовательности не равны нулю: $b_n \neq 0$ для любого $n$.
2. Существует такое число $q \neq 0$, называемое знаменателем прогрессии, что для любого натурального $n$ выполняется равенство: $b_{n+1} = b_n \cdot q$.
Например, последовательность 2, 6, 18, 54, ... является геометрической прогрессией, так как ее первый член $b_1 = 2$, а каждый последующий член в 3 раза больше предыдущего. Здесь знаменатель прогрессии $q = 3$.
Формула $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Ответ: Геометрическая прогрессия — это последовательность ненулевых чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число.

2. Знаменателем геометрической прогрессии называют постоянное число $q$, показывающее, во сколько раз каждый последующий член прогрессии отличается от предыдущего. Знаменатель прогрессии не может быть равен нулю ($q \neq 0$).
Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, необходимо любой её член, начиная со второго, разделить на предыдущий:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$
Например, для геометрической прогрессии 100, -50, 25, -12.5, ... знаменатель $q$ будет равен:
$q = \frac{-50}{100} = -0.5$
Значение знаменателя $q$ определяет поведение прогрессии:
- если $q > 1$, прогрессия возрастает (при $b_1 > 0$) или убывает (при $b_1 < 0$);
- если $q=1$, прогрессия является стационарной (все члены равны);
- если $0 < q < 1$, прогрессия убывает (при $b_1 > 0$) или возрастает (при $b_1 < 0$);
- если $q < 0$, прогрессия является знакочередующейся.
Ответ: Знаменатель геометрической прогрессии — это число $q$, равное отношению любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену ($q = b_{n+1}/b_n$).

3. Какой вид имеет формула $n$-го члена геометрической прогрессии?

2. Знаменателем геометрической прогрессии называют число, на которое нужно умножить предыдущий член прогрессии, чтобы получить следующий. Это постоянная величина для данной прогрессии, и она не может быть равна нулю. Обозначается знаменатель обычно буквой `$q$`. Для любой геометрической прогрессии `$(b_n)$`, состоящей из ненулевых членов, знаменатель `$q$` можно найти как отношение любого последующего члена к предыдущему: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$. Например, в прогрессии 2, 6, 18, 54, ... знаменатель равен $q = \frac{6}{2} = 3$.
Ответ: Знаменателем геометрической прогрессии называют постоянное для данной последовательности число `$q$`, равное отношению любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену.

3. Формула n-го члена геометрической прогрессии позволяет найти любой член последовательности по его номеру `$n$`, зная первый член `$b_1$` и знаменатель `$q$`. Вывод формулы основывается на определении геометрической прогрессии. Если `$b_1$` - первый член, а `$q$` - знаменатель, то:
второй член `$b_2 = b_1 \cdot q = b_1 \cdot q^{2-1}$`
третий член `$b_3 = b_2 \cdot q = (b_1 \cdot q) \cdot q = b_1 \cdot q^2 = b_1 \cdot q^{3-1}$`
четвертый член `$b_4 = b_3 \cdot q = (b_1 \cdot q^2) \cdot q = b_1 \cdot q^3 = b_1 \cdot q^{4-1}$`
Обобщая эту закономерность, получаем общую формулу для любого члена с номером `$n$`. Она выражает n-й член `$b_n$` через первый член `$b_1$`, знаменатель `$q$` и номер члена `$n$`.
Ответ: Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

4. Как связаны между собой три последовательных члена геометрической прогрессии?

Три последовательных члена геометрической прогрессии связаны между собой так называемым характеристическим свойством геометрической прогрессии.

Пусть даны три последовательных члена геометрической прогрессии: $b_{n-1}$, $b_n$ и $b_{n+1}$, где $n$ — номер члена, начиная со второго ($n \ge 2$).

По определению геометрической прогрессии, каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на постоянное для данной прогрессии число — знаменатель прогрессии $q$ ($q \ne 0$). Таким образом, можно записать следующие равенства:
$b_n = b_{n-1} \cdot q$
$b_{n+1} = b_n \cdot q$

Из этих двух равенств выразим знаменатель $q$:
$q = \frac{b_n}{b_{n-1}}$
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

Поскольку знаменатель $q$ является постоянной величиной для всей прогрессии, мы можем приравнять правые части полученных выражений:
$\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

Применив основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), мы получим искомое соотношение:
$b_n \cdot b_n = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$
$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$

Это равенство и является ключевой связью между тремя последовательными членами. Словесно его можно сформулировать так: квадрат любого члена геометрической прогрессии (начиная со второго) равен произведению двух соседних с ним членов — предыдущего и последующего.

Из этого свойства также следует, что модуль любого члена прогрессии (начиная со второго) является средним геометрическим его соседних членов: $|b_n| = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$. Для прогрессии с положительными членами формула упрощается до $b_n = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$.

Пример:
Рассмотрим геометрическую прогрессию: 2, 10, 50, ...
Возьмем три последовательных члена: $b_1=2$, $b_2=10$, $b_3=50$.
Проверим свойство для среднего члена $b_2=10$:
Квадрат среднего члена: $b_2^2 = 10^2 = 100$.
Произведение соседних членов: $b_1 \cdot b_3 = 2 \cdot 50 = 100$.
Поскольку $100 = 100$, свойство выполняется.

Ответ: Квадрат любого среднего из трех последовательных членов геометрической прогрессии равен произведению двух других (соседних) членов. Если обозначить эти члены как $b_{n-1}$, $b_n$ и $b_{n+1}$, то их связь выражается формулой: $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.

817. Среди данных последовательностей укажите геометрические прогрессии, первый член и знаменатель каждой из них:

1) 2, 6, 18, 36;

2) 4, 8, 16, 32;

3) 10, 20, 30, 40;

4) 81, 27, 9, 3;

5) 2, -2, 2, -2;

6) $-$\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, -1, 2;

7) -9, -9, -9, -9;

8) 1, 2, 3, 5;

9) $\sqrt{2}$, 2, $2\sqrt{2}$, 4.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел $b_1, b_2, b_3, \dots$, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число $q$ (знаменатель прогрессии). То есть, $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Чтобы проверить, является ли последовательность геометрической прогрессией, нужно найти отношение любого члена к предыдущему. Если это отношение постоянно для всей последовательности, то она является геометрической.

1) 2, 6, 18, 36;
Проверим отношение между соседними членами последовательности: $\frac{6}{2} = 3$
$\frac{18}{6} = 3$
$\frac{36}{18} = 2$
Так как отношение не является постоянным ($3 \neq 2$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.
Ответ: не является геометрической прогрессией.

2) 4, 8, 16, 32;
Проверим отношение между соседними членами последовательности: $\frac{8}{4} = 2$
$\frac{16}{8} = 2$
$\frac{32}{16} = 2$
Отношение постоянно и равно 2. Следовательно, это геометрическая прогрессия. Первый член $b_1 = 4$, знаменатель $q = 2$.
Ответ: является геометрической прогрессией, первый член $b_1 = 4$, знаменатель $q = 2$.

3) 10, 20, 30, 40;
Проверим отношение между соседними членами последовательности: $\frac{20}{10} = 2$
$\frac{30}{20} = 1.5$
Так как отношение не является постоянным ($2 \neq 1.5$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.
Ответ: не является геометрической прогрессией.

4) 81, 27, 9, 3;
Проверим отношение между соседними членами последовательности: $\frac{27}{81} = \frac{1}{3}$
$\frac{9}{27} = \frac{1}{3}$
$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
Отношение постоянно и равно $\frac{1}{3}$. Следовательно, это геометрическая прогрессия. Первый член $b_1 = 81$, знаменатель $q = \frac{1}{3}$.
Ответ: является геометрической прогрессией, первый член $b_1 = 81$, знаменатель $q = \frac{1}{3}$.

5) 2, -2, 2, -2;
Проверим отношение между соседними членами последовательности: $\frac{-2}{2} = -1$
$\frac{2}{-2} = -1$
$\frac{-2}{2} = -1$
Отношение постоянно и равно -1. Следовательно, это геометрическая прогрессия. Первый член $b_1 = 2$, знаменатель $q = -1$.
Ответ: является геометрической прогрессией, первый член $b_1 = 2$, знаменатель $q = -1$.

6) $-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, -1, 2;$
Проверим отношение между соседними членами последовательности: $\frac{1/2}{-1/4} = -\frac{1}{2} \cdot 4 = -2$
$\frac{-1}{1/2} = -1 \cdot 2 = -2$
$\frac{2}{-1} = -2$
Отношение постоянно и равно -2. Следовательно, это геометрическая прогрессия. Первый член $b_1 = -\frac{1}{4}$, знаменатель $q = -2$.
Ответ: является геометрической прогрессией, первый член $b_1 = -\frac{1}{4}$, знаменатель $q = -2$.

7) -9, -9, -9, -9;
Проверим отношение между соседними членами последовательности: $\frac{-9}{-9} = 1$
Отношение постоянно и равно 1. Следовательно, это геометрическая прогрессия. Первый член $b_1 = -9$, знаменатель $q = 1$.
Ответ: является геометрической прогрессией, первый член $b_1 = -9$, знаменатель $q = 1$.

8) 1, 2, 3, 5;
Проверим отношение между соседними членами последовательности: $\frac{2}{1} = 2$
$\frac{3}{2} = 1.5$
Так как отношение не является постоянным ($2 \neq 1.5$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.
Ответ: не является геометрической прогрессией.

9) $\sqrt{2}, 2, 2\sqrt{2}, 4$.
Проверим отношение между соседними членами последовательности: $\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
$\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
$\frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
Отношение постоянно и равно $\sqrt{2}$. Следовательно, это геометрическая прогрессия. Первый член $b_1 = \sqrt{2}$, знаменатель $q = \sqrt{2}$.
Ответ: является геометрической прогрессией, первый член $b_1 = \sqrt{2}$, знаменатель $q = \sqrt{2}$.

818. Шестой член геометрической прогрессии ($b_n$) равен 8, а знаменатель равен -4. Найдите седьмой член прогрессии.

По условию задачи дана геометрическая прогрессия $(b_n)$. Известно, что её шестой член $b_6 = 8$, а знаменатель прогрессии $q = -4$.

По определению геометрической прогрессии, каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на знаменатель. Это можно записать в виде рекуррентной формулы:
$b_{n+1} = b_n \cdot q$

Чтобы найти седьмой член прогрессии $b_7$, нужно использовать эту формулу, взяв $n=6$:
$b_7 = b_6 \cdot q$

Теперь подставим известные значения $b_6 = 8$ и $q = -4$ в полученную формулу и выполним вычисление:
$b_7 = 8 \cdot (-4) = -32$

Ответ: -32

819. Найдите седьмой член геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_8 = 16$, а знаменатель прогрессии $q = \frac{3}{4}$.

По определению геометрической прогрессии $(b_n)$, каждый ее член, начиная со второго, связан с предыдущим членом и знаменателем прогрессии $q$ по формуле $b_n = b_{n-1} \cdot q$.

В данной задаче нам нужно найти седьмой член $b_7$, зная восьмой член $b_8$. Для этих двух членов формула будет выглядеть так:

$b_8 = b_7 \cdot q$

Чтобы найти $b_7$, выразим его из этой формулы:

$b_7 = \frac{b_8}{q}$

Из условия задачи нам известно, что $b_8 = 16$ и знаменатель прогрессии $q = \frac{3}{4}$. Подставим эти значения в формулу:

$b_7 = \frac{16}{\frac{3}{4}}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю:

$b_7 = 16 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16 \cdot 4}{3} = \frac{64}{3}$

Ответ можно также представить в виде смешанного числа: $21\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{64}{3}$

820. Чему равен знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если:

1) $b_1 = 6, b_2 = -3$;

2) $b_7 = -9, b_8 = 15$;

3) $b_{10} = 3\sqrt{3}, b_{11} = 9?$

Знаменатель геометрической прогрессии ($q$) — это постоянное число, на которое умножается каждый член прогрессии, чтобы получить следующий. Он находится по формуле $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$, где $b_n$ и $b_{n+1}$ — два последовательных члена прогрессии.

1) Даны члены прогрессии $b_1 = 6$ и $b_2 = -3$.

Для нахождения знаменателя $q$ разделим второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

2) Даны члены прогрессии $b_7 = -9$ и $b_8 = 15$.

Для нахождения знаменателя $q$ разделим восьмой член на седьмой:

$q = \frac{b_8}{b_7} = \frac{15}{-9} = -\frac{15}{9}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$q = -\frac{5}{3}$

Ответ: $-\frac{5}{3}$.

3) Даны члены прогрессии $b_{10} = 3\sqrt{3}$ и $b_{11} = 9$.

Для нахождения знаменателя $q$ разделим одиннадцатый член на десятый:

$q = \frac{b_{11}}{b_{10}} = \frac{9}{3\sqrt{3}}$

Упростим выражение, разделив числитель и знаменатель на 3:

$q = \frac{3}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$q = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$.

821. Найдите знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если:

1) $b_{12} = 24$, $b_{13} = 4$;

2) $b_4 = -\frac{2}{9}$, $b_5 = \frac{4}{15}$.

1)

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ — это постоянное число, на которое умножается каждый член прогрессии для получения следующего члена. Чтобы найти знаменатель, достаточно разделить любой член прогрессии на предшествующий ему член.

Формула для нахождения знаменателя $q$ через два последовательных члена $b_n$ и $b_{n+1}$ выглядит так: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$.

В условии даны двенадцатый и тринадцатый члены прогрессии: $b_{12} = 24$ и $b_{13} = 4$. Это два последовательных члена.

Подставим эти значения в формулу, приняв $n=12$:

$q = \frac{b_{13}}{b_{12}} = \frac{4}{24}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4:

$q = \frac{4 \div 4}{24 \div 4} = \frac{1}{6}$

Ответ: $q = \frac{1}{6}$

2)

Для решения этого пункта используется та же формула для нахождения знаменателя геометрической прогрессии: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$.

В условии даны четвертый и пятый члены прогрессии: $b_4 = -\frac{2}{9}$ и $b_5 = \frac{4}{15}$.

Подставим эти значения в формулу, приняв $n=4$:

$q = \frac{b_5}{b_4} = \frac{\frac{4}{15}}{-\frac{2}{9}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$q = \frac{4}{15} \cdot \left(-\frac{9}{2}\right) = -\frac{4 \cdot 9}{15 \cdot 2}$

Теперь сократим полученное выражение. Можно заметить, что 4 и 2 сокращаются на 2, а 9 и 15 сокращаются на 3:

$q = -\frac{(2 \cdot \cancel{2}) \cdot (3 \cdot \cancel{3})}{(\cancel{3} \cdot 5) \cdot \cancel{2}} = -\frac{2 \cdot 3}{5} = -\frac{6}{5}$

Ответ: $q = -\frac{6}{5}$

822. Чему равен первый член геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_2 = 12$, а знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{3}$?

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии ($b_n$) воспользуемся формулой n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

В нашем случае известен второй член прогрессии ($n=2$), поэтому формула принимает вид:

$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q$

По условию задачи даны значения второго члена $b_2 = 12$ и знаменателя $q = \frac{1}{3}$. Подставим эти значения в формулу:

$12 = b_1 \cdot \frac{1}{3}$

Чтобы найти $b_1$, нужно разделить 12 на $\frac{1}{3}$, что эквивалентно умножению 12 на 3:

$b_1 = 12 : \frac{1}{3} = 12 \cdot 3 = 36$

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 36.

Ответ: 36

823. Седьмой член геометрической прогрессии равен $\frac{1}{2}$, а её знаменатель равен 4. Найдите шестой член прогрессии.

Пусть данная геометрическая прогрессия обозначается как $(b_n)$, где $n$ — номер члена прогрессии. По условию задачи, нам известны седьмой член прогрессии и её знаменатель:

$b_7 = \frac{1}{2}$

$q = 4$

Требуется найти шестой член прогрессии, $b_6$.

В геометрической прогрессии каждый последующий член получается путем умножения предыдущего члена на знаменатель прогрессии. Эта зависимость между любыми двумя соседними членами выражается формулой:

$b_n = b_{n-1} \cdot q$

Применительно к седьмому и шестому членам, эта формула будет выглядеть следующим образом:

$b_7 = b_6 \cdot q$

Чтобы найти $b_6$, мы можем выразить его из этой формулы, разделив седьмой член на знаменатель прогрессии:

$b_6 = \frac{b_7}{q}$

Теперь подставим известные значения $b_7 = \frac{1}{2}$ и $q = 4$ в формулу для нахождения $b_6$:

$b_6 = \frac{\frac{1}{2}}{4} = \frac{1}{2} \div 4 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$