Страница 236 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

851. Последовательность $b_n$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q$. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

1) $b_1, b_3, \dots, b_{2n-1}$;

2) $2b_1, 2b_2, \dots, 2b_n$;

3) $b_1+b_2, b_2+b_3, \dots, b_{n-1}+b_n$;

4) $\frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2}, \dots, \frac{1}{b_n}$?

В случае утвердительного ответа укажите знаменатель прогрессии.

По условию, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q$. Это означает, что для любого натурального $n$ выполняется равенство $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Формула $n$-го члена прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для того чтобы определить, является ли новая последовательность геометрической прогрессией, нужно найти отношение её $(k+1)$-го члена к $k$-му члену. Если это отношение является константой (не зависит от $k$), то последовательность является геометрической, и эта константа — её знаменатель.

1) $b_1, b_3, \dots, b_{2n-1}, \dots$
Рассмотрим новую последовательность $(c_n)$, где $c_n = b_{2n-1}$. Найдём отношение $(n+1)$-го члена этой последовательности к $n$-му члену. $(n+1)$-й член последовательности $(c_n)$ это $c_{n+1} = b_{2(n+1)-1} = b_{2n+1}$. Найдём отношение $\frac{c_{n+1}}{c_n}$: $\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{2n+1}}{b_{2n-1}}$ Используя формулу $n$-го члена исходной прогрессии, получаем: $b_{2n+1} = b_1 \cdot q^{(2n+1)-1} = b_1 \cdot q^{2n}$ $b_{2n-1} = b_1 \cdot q^{(2n-1)-1} = b_1 \cdot q^{2n-2}$ Тогда их отношение равно: $\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_1 \cdot q^{2n}}{b_1 \cdot q^{2n-2}} = q^{2n - (2n-2)} = q^2$. Так как отношение соседних членов постоянно и равно $q^2$, последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии равен $q^2$.

2) $2b_1, 2b_2, \dots, 2b_n, \dots$
Рассмотрим новую последовательность $(c_n)$, где $c_n = 2b_n$. Найдём отношение $(n+1)$-го члена этой последовательности к $n$-му члену: $\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{2b_{n+1}}{2b_n} = \frac{b_{n+1}}{b_n}$. Так как $(b_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$, то $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$. Следовательно, отношение соседних членов новой последовательности постоянно и равно $q$.
Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии равен $q$.

3) $b_1 + b_2, b_2 + b_3, \dots, b_{n-1} + b_n, \dots$
Рассмотрим новую последовательность $(c_n)$, где $c_n = b_n + b_{n+1}$. Найдём отношение $(n+1)$-го члена этой последовательности к $n$-му члену. $(n+1)$-й член последовательности $(c_n)$ это $c_{n+1} = b_{n+1} + b_{n+2}$. Найдём отношение $\frac{c_{n+1}}{c_n}$ (при условии, что $c_n \neq 0$): $\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{n+1} + b_{n+2}}{b_n + b_{n+1}}$ Используя свойство $b_{k+1} = b_k \cdot q$, выразим члены через $b_n$ и $b_{n+1}$: $b_{n+2} = b_{n+1} \cdot q$ $b_{n+1} = b_n \cdot q$ Подставим в дробь: $\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{n+1} + b_{n+1} \cdot q}{b_n + b_n \cdot q} = \frac{b_{n+1}(1+q)}{b_n(1+q)}$ Если $q \neq -1$, то можно сократить на $(1+q)$: $\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{n+1}}{b_n} = q$. Отношение постоянно и равно $q$. Если $q = -1$, то все члены последовательности $c_n$ равны $b_n + b_{n+1} = b_n - b_n = 0$, и последовательность $0, 0, 0, \dots$ также является геометрической прогрессией (знаменатель может быть любым числом, но часто в таких случаях его также принимают равным $q$).
Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии равен $q$.

4) $\frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2}, \dots, \frac{1}{b_n}, \dots$
Рассмотрим новую последовательность $(c_n)$, где $c_n = \frac{1}{b_n}$. Это возможно, если все $b_n \neq 0$, что выполняется, если $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$. Найдём отношение $(n+1)$-го члена этой последовательности к $n$-му члену: $\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{1/b_{n+1}}{1/b_n} = \frac{b_n}{b_{n+1}}$. Мы знаем, что $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$. Следовательно, $\frac{b_n}{b_{n+1}} = \frac{1}{q}$. Отношение соседних членов постоянно и равно $\frac{1}{q}$.
Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии равен $\frac{1}{q}$.

852. Последовательность $ (b_n) $ является геометрической прогрессией со знаменателем $ q $. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

1) $ b_2, b_4, ..., b_{2n}; $

2) $ b_1b_3, b_2b_4, b_3b_5, ..., b_{n-2}b_n? $

В случае утвердительного ответа укажите знаменатель прогрессии.

По условию, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q$. Это означает, что для любого натурального $n$ выполняется равенство $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Также справедлива формула $n$-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Чтобы определить, является ли новая последовательность геометрической прогрессией, нужно найти отношение её последующего члена к предыдущему. Если это отношение является постоянной величиной (не зависит от номера члена), то последовательность является геометрической прогрессией, а эта величина и есть её знаменатель.

1) $b_2, b_4, \ldots, b_{2n}, \ldots$

Обозначим новую последовательность как $(c_n)$, где её $n$-й член $c_n = b_{2n}$. Найдём отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му члену последовательности $(c_n)$: $$ \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{2(n+1)}}{b_{2n}} = \frac{b_{2n+2}}{b_{2n}} $$ Используя свойство исходной геометрической прогрессии, выразим $b_{2n+2}$ через $b_{2n}$: $$ b_{2n+2} = b_{2n+1} \cdot q = (b_{2n} \cdot q) \cdot q = b_{2n} \cdot q^2 $$ Подставим это выражение в наше отношение: $$ \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{2n} \cdot q^2}{b_{2n}} = q^2 $$ Так как отношение последующего члена к предыдущему постоянно и равно $q^2$, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии равен $q^2$.

2) $b_1b_3, b_2b_4, b_3b_5, \ldots, b_{n-2}b_n$?

Обозначим новую последовательность как $(d_n)$. Судя по первым членам, $n$-й член этой последовательности имеет вид $d_n = b_n \cdot b_{n+2}$. Найдём отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му члену последовательности $(d_n)$: $$ \frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{b_{n+1} \cdot b_{(n+1)+2}}{b_n \cdot b_{n+2}} = \frac{b_{n+1} \cdot b_{n+3}}{b_n \cdot b_{n+2}} $$ Используя свойство исходной геометрической прогрессии $b_{k+1} = b_k \cdot q$, выразим $b_{n+1}$ через $b_n$ и $b_{n+3}$ через $b_{n+2}$: $$ b_{n+1} = b_n \cdot q $$ $$ b_{n+3} = b_{n+2} \cdot q $$ Подставим эти выражения в наше отношение: $$ \frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{(b_n \cdot q) \cdot (b_{n+2} \cdot q)}{b_n \cdot b_{n+2}} = \frac{b_n \cdot b_{n+2} \cdot q^2}{b_n \cdot b_{n+2}} = q^2 $$ Так как отношение последующего члена к предыдущему постоянно и равно $q^2$, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии равен $q^2$.

853. Между числами 80 и 5 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.

Пусть искомая последовательность чисел является геометрической прогрессией $(b_n)$. По условию, нам нужно вставить три числа между 80 и 5. Это означает, что всего в прогрессии будет $2+3=5$ членов.Первый член прогрессии $b_1 = 80$, а пятый член $b_5 = 5$.Искомые числа — это $b_2$, $b_3$ и $b_4$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Воспользуемся этой формулой для пятого члена прогрессии, чтобы найти знаменатель $q$.$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$$b_5 = b_1 \cdot q^4$

Подставим известные значения $b_1 = 80$ и $b_5 = 5$ в формулу:$5 = 80 \cdot q^4$

Теперь решим это уравнение относительно $q$:$q^4 = \frac{5}{80}$Сократим дробь:$q^4 = \frac{1}{16}$

Извлекая корень четвертой степени, получаем два возможных действительных значения для $q$:$q = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2}$и$q = -\sqrt[4]{\frac{1}{16}} = -\frac{1}{2}$

Рассмотрим оба варианта.

Случай 1: $q = \frac{1}{2}$

Находим три искомых члена прогрессии:$b_2 = b_1 \cdot q = 80 \cdot \frac{1}{2} = 40$$b_3 = b_2 \cdot q = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20$$b_4 = b_3 \cdot q = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$Таким образом, первая последовательность искомых чисел: 40, 20, 10.Прогрессия: 80, 40, 20, 10, 5.

Случай 2: $q = -\frac{1}{2}$

Находим три искомых члена прогрессии:$b_2 = b_1 \cdot q = 80 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -40$$b_3 = b_2 \cdot q = -40 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 20$$b_4 = b_3 \cdot q = 20 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -10$Таким образом, вторая последовательность искомых чисел: -40, 20, -10.Прогрессия: 80, -40, 20, -10, 5.

Ответ: искомые числа 40, 20, 10 или -40, 20, -10.

854. Между числами 6 и 486 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.

По условию задачи, нам нужно вставить три числа между 6 и 486 так, чтобы получилась геометрическая прогрессия. Обозначим эту прогрессию как $(b_n)$.

Первый член прогрессии $b_1 = 6$.

После вставки трех чисел, число 486 станет пятым членом прогрессии. Таким образом, $b_5 = 486$.

Общее количество членов в этой прогрессии $n = 5$.

Формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ - знаменатель прогрессии.

Подставим известные значения в формулу для пятого члена:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$

$486 = 6 \cdot q^4$

Теперь решим это уравнение относительно $q$:

$q^4 = \frac{486}{6}$

$q^4 = 81$

Это уравнение имеет два действительных корня, так как степень четная:

$q_1 = \sqrt[4]{81} = 3$

$q_2 = -\sqrt[4]{81} = -3$

Следовательно, существуют два возможных набора чисел. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: q = 3

Найдем искомые три числа, которые являются вторым, третьим и четвертым членами прогрессии:

$b_2 = b_1 \cdot q = 6 \cdot 3 = 18$

$b_3 = b_2 \cdot q = 18 \cdot 3 = 54$

$b_4 = b_3 \cdot q = 54 \cdot 3 = 162$

Получаем прогрессию: 6, 18, 54, 162, 486.

Случай 2: q = -3

Найдем искомые три числа для этого знаменателя:

$b_2 = b_1 \cdot q = 6 \cdot (-3) = -18$

$b_3 = b_2 \cdot q = (-18) \cdot (-3) = 54$

$b_4 = b_3 \cdot q = 54 \cdot (-3) = -162$

Получаем прогрессию: 6, -18, 54, -162, 486.

Ответ: Существуют два набора таких чисел: 18, 54, 162 и -18, 54, -162.

855. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если:

1) $b_5 = 3b_3$ и $b_6 - b_2 = 48;$

2) $b_4 + b_7 = \frac{56}{9}$ и $b_5 - b_6 + b_7 = \frac{14}{9};$

3) $b_5 - b_4 = 168$ и $b_3 + b_4 = -28.$

1)

Дана геометрическая прогрессия $ (b_n) $, для которой известны следующие условия:

$ b_5 = 3b_3 $

$ b_6 - b_2 = 48 $

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $ b_n = b_1 q^{n-1} $, где $ b_1 $ — первый член, а $ q $ — знаменатель прогрессии.

Выразим члены прогрессии из уравнений через $ b_1 $ и $ q $:

$ b_5 = b_1 q^4 $

$ b_3 = b_1 q^2 $

$ b_6 = b_1 q^5 $

$ b_2 = b_1 q $

Подставим эти выражения в заданные уравнения и получим систему:

$ \begin{cases} b_1 q^4 = 3(b_1 q^2) \\ b_1 q^5 - b_1 q = 48 \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение. Так как $ b_6 - b_2 = 48 \neq 0 $, то $ b_1 \neq 0 $. Также, если бы $ q=0 $, то $ b_2=b_6=0 $, что привело бы к неверному равенству $ 0=48 $. Следовательно, $ q \neq 0 $. Мы можем разделить обе части первого уравнения на $ b_1 q^2 $:

$ q^2 = 3 $

Отсюда получаем два возможных значения для $ q $: $ q = \sqrt{3} $ и $ q = -\sqrt{3} $.

Теперь рассмотрим второе уравнение:

$ b_1 q (q^4 - 1) = 48 $

Поскольку $ q^2 = 3 $, то $ q^4 = (q^2)^2 = 3^2 = 9 $. Подставим это значение:

$ b_1 q (9 - 1) = 48 $

$ 8 b_1 q = 48 $

$ b_1 q = 6 $

Теперь найдем $ b_1 $ для каждого значения $ q $:

Случай 1: $ q = \sqrt{3} $

$ b_1 \cdot \sqrt{3} = 6 \implies b_1 = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} $

Случай 2: $ q = -\sqrt{3} $

$ b_1 \cdot (-\sqrt{3}) = 6 \implies b_1 = -\frac{6}{\sqrt{3}} = -2\sqrt{3} $

Таким образом, существуют два набора решений.

Ответ: $ b_1 = 2\sqrt{3}, q = \sqrt{3} $ или $ b_1 = -2\sqrt{3}, q = -\sqrt{3} $.

2)

Даны условия:

$ b_4 + b_7 = \frac{56}{9} $

$ b_5 - b_6 + b_7 = \frac{14}{9} $

Выразим члены прогрессии через $ b_1 $ и $ q $:

$ b_4 = b_1 q^3 $, $ b_7 = b_1 q^6 $, $ b_5 = b_1 q^4 $, $ b_6 = b_1 q^5 $.

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} b_1 q^3 + b_1 q^6 = \frac{56}{9} \\ b_1 q^4 - b_1 q^5 + b_1 q^6 = \frac{14}{9} \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки:

$ \begin{cases} b_1 q^3 (1 + q^3) = \frac{56}{9} \\ b_1 q^4 (1 - q + q^2) = \frac{14}{9} \end{cases} $

Заметим, что $ 1 + q^3 = (1+q)(1-q+q^2) $. Перепишем первое уравнение:

$ b_1 q^3 (1+q)(1-q+q^2) = \frac{56}{9} $

Теперь разделим первое преобразованное уравнение на второе (правые части не равны нулю, поэтому деление возможно):

$ \frac{b_1 q^3 (1+q)(1-q+q^2)}{b_1 q^4 (1 - q + q^2)} = \frac{56/9}{14/9} $

Сокращаем $ b_1 $, $ q^3 $ и $ (1-q+q^2) $ (так как $ b_1 q^4 (1 - q + q^2) = \frac{14}{9} \neq 0 $, то и множители не равны нулю):

$ \frac{1+q}{q} = \frac{56}{14} $

$ \frac{1+q}{q} = 4 $

$ 1+q = 4q \implies 3q = 1 \implies q = \frac{1}{3} $

Подставим найденное значение $ q $ во второе исходное уравнение $ b_1 q^4 (1 - q + q^2) = \frac{14}{9} $:

$ b_1 \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(1 - \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^2\right) = \frac{14}{9} $

$ b_1 \cdot \frac{1}{81} \cdot \left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9}\right) = \frac{14}{9} $

$ b_1 \cdot \frac{1}{81} \cdot \left(\frac{9-3+1}{9}\right) = \frac{14}{9} $

$ b_1 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{7}{9} = \frac{14}{9} $

$ b_1 \cdot \frac{7}{729} = \frac{14}{9} $

$ b_1 = \frac{14}{9} \cdot \frac{729}{7} = \frac{14}{7} \cdot \frac{729}{9} = 2 \cdot 81 = 162 $

Ответ: $ b_1 = 162, q = \frac{1}{3} $.

3)

Даны условия:

$ b_5 - b_4 = 168 $

$ b_3 + b_4 = -28 $

Выразим члены прогрессии через $ b_1 $ и $ q $:

$ b_5 = b_1 q^4 $, $ b_4 = b_1 q^3 $, $ b_3 = b_1 q^2 $.

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} b_1 q^4 - b_1 q^3 = 168 \\ b_1 q^2 + b_1 q^3 = -28 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки:

$ \begin{cases} b_1 q^3 (q - 1) = 168 \\ b_1 q^2 (1 + q) = -28 \end{cases} $

Разделим первое уравнение на второе (правые части не равны нулю, деление возможно):

$ \frac{b_1 q^3 (q - 1)}{b_1 q^2 (1 + q)} = \frac{168}{-28} $

Сокращаем $ b_1 $ и $ q^2 $ (предполагая $ q \neq 0 $, что верно, иначе $ 168=0 $ и $ -28=0 $):

$ \frac{q(q-1)}{1+q} = -6 $

$ q^2 - q = -6(1+q) $

$ q^2 - q = -6 - 6q $

$ q^2 + 5q + 6 = 0 $

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна -5, произведение равно 6. Корни:

$ q_1 = -2 $, $ q_2 = -3 $.

Теперь найдем $ b_1 $ для каждого значения $ q $, используя второе уравнение $ b_1 q^2 (1 + q) = -28 $.

Случай 1: $ q = -2 $

$ b_1 (-2)^2 (1 - 2) = -28 $

$ b_1 \cdot 4 \cdot (-1) = -28 $

$ -4b_1 = -28 \implies b_1 = 7 $

Случай 2: $ q = -3 $

$ b_1 (-3)^2 (1 - 3) = -28 $

$ b_1 \cdot 9 \cdot (-2) = -28 $

$ -18b_1 = -28 \implies b_1 = \frac{-28}{-18} = \frac{14}{9} $

Таким образом, существуют два набора решений.

Ответ: $ b_1 = 7, q = -2 $ или $ b_1 = \frac{14}{9}, q = -3 $.

856. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если:

1) $b_4 - b_2 = 30$ и $b_4 - b_3 = 24$;

2) $b_2 - b_5 = 78$ и $b_3 + b_4 + b_5 = -117$.

1) Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ со знаменателем $q$. Из условий задачи имеем систему уравнений:

$\begin{cases} b_4 - b_2 = 30 \\ b_4 - b_3 = 24 \end{cases}$

Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$, перепишем систему, вынеся общие множители за скобки:

$\begin{cases} b_1 q^3 - b_1 q = 30 \\ b_1 q^3 - b_1 q^2 = 24 \end{cases} \implies \begin{cases} b_1 q (q^2 - 1) = 30 \\ b_1 q^2 (q - 1) = 24 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на второе (при условии, что $b_1 \neq 0, q \neq 0, q \neq 1$). Применим формулу разности квадратов $q^2 - 1 = (q - 1)(q + 1)$ и сократим дроби:

$\frac{b_1 q (q - 1)(q + 1)}{b_1 q^2 (q - 1)} = \frac{30}{24} \implies \frac{q + 1}{q} = \frac{5}{4}$

Решим полученное уравнение для нахождения $q$:

$4(q + 1) = 5q \implies 4q + 4 = 5q \implies q = 4$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q = 4$ во второе уравнение системы $b_1 q^2 (q - 1) = 24$:

$b_1 \cdot 4^2 (4 - 1) = 24 \implies b_1 \cdot 16 \cdot 3 = 24 \implies 48 b_1 = 24 \implies b_1 = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$

Ответ: первый член $b_1 = \frac{1}{2}$, знаменатель $q = 4$.

2) Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ со знаменателем $q$. Из условий задачи имеем систему уравнений:

$\begin{cases} b_2 - b_5 = 78 \\ b_3 + b_4 + b_5 = -117 \end{cases}$

Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$, перепишем систему, вынеся общие множители за скобки:

$\begin{cases} b_1 q - b_1 q^4 = 78 \\ b_1 q^2 + b_1 q^3 + b_1 q^4 = -117 \end{cases} \implies \begin{cases} b_1 q (1 - q^3) = 78 \\ b_1 q^2 (1 + q + q^2) = -117 \end{cases}$

Разделим второе уравнение на первое (при условии, что $b_1 \neq 0, q \neq 0, 1 - q^3 \neq 0$). Применим формулу разности кубов $1 - q^3 = (1 - q)(1 + q + q^2)$ и сократим дроби (НОД(117, 78) = 39):

$\frac{b_1 q^2 (1 + q + q^2)}{b_1 q (1 - q^3)} = \frac{-117}{78} \implies \frac{b_1 q^2 (1 + q + q^2)}{b_1 q (1 - q)(1 + q + q^2)} = -\frac{3}{2} \implies \frac{q}{1 - q} = -\frac{3}{2}$

Решим полученное уравнение для нахождения $q$:

$2q = -3(1 - q) \implies 2q = -3 + 3q \implies q = 3$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q = 3$ в первое уравнение системы $b_1 q (1 - q^3) = 78$:

$b_1 \cdot 3 (1 - 3^3) = 78 \implies b_1 \cdot 3(1 - 27) = 78 \implies b_1 \cdot 3 \cdot (-26) = 78 \implies -78 b_1 = 78 \implies b_1 = -1$

Ответ: первый член $b_1 = -1$, знаменатель $q = 3$.

857. При каком значении $x$ значения выражений $2x + 1$, $x + 5$ и $x + 11$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

При каком значении x значения выражений 2x + 1, x + 5 и x + 11 будут последовательными членами геометрической прогрессии?

Пусть данные выражения являются последовательными членами геометрической прогрессии $(b_n)$:
$b_1 = 2x + 1$
$b_2 = x + 5$
$b_3 = x + 11$

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии, квадрат любого её члена, начиная со второго, равен произведению соседних (предыдущего и последующего) членов:$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в эту формулу данные выражения и решим полученное уравнение:
$(x + 5)^2 = (2x + 1)(x + 11)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 22x + x + 11$
$x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 23x + 11$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:
$2x^2 - x^2 + 23x - 10x + 11 - 25 = 0$
$x^2 + 13x - 14 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 169 + 56 = 225$
$\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 15}{2 \cdot 1} = \frac{-28}{2} = -14$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 15}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: при $x = 1$ или $x = -14$.

Найдите члены этой прогрессии.

Теперь найдем члены прогрессии для каждого из найденных значений $x$.

1. При $x = 1$:
$b_1 = 2(1) + 1 = 3$
$b_2 = 1 + 5 = 6$
$b_3 = 1 + 11 = 12$
Получаем геометрическую прогрессию: 3, 6, 12 со знаменателем $q = 2$.

2. При $x = -14$:
$b_1 = 2(-14) + 1 = -28 + 1 = -27$
$b_2 = -14 + 5 = -9$
$b_3 = -14 + 11 = -3$
Получаем геометрическую прогрессию: -27, -9, -3 со знаменателем $q = \frac{1}{3}$.

Ответ: если $x=1$, то члены прогрессии равны 3, 6, 12; если $x=-14$, то члены прогрессии равны -27, -9, -3.

858. При каком значении $x$ значения выражений $x+6$, $x+2$ и $3x-4$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

По определению геометрической прогрессии, для любых трех ее последовательных членов $b_{n-1}$, $b_n$, $b_{n+1}$ выполняется равенство $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.

В данной задаче нам даны три последовательных члена прогрессии:

$b_1 = x + 6$

$b_2 = x + 2$

$b_3 = 3x - 4$

Применим к ним свойство геометрической прогрессии, чтобы составить уравнение:

$(x + 2)^2 = (x + 6)(3x - 4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, чтобы найти значение $x$:

$x^2 + 4x + 4 = 3x^2 - 4x + 18x - 24$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 14x - 24$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 - x^2 + 14x - 4x - 24 - 4 = 0$

$2x^2 + 10x - 28 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 + 5x - 14 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -14$. Подбором находим корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = -7$

Мы нашли два возможных значения $x$. Теперь для каждого из них найдем члены прогрессии.

Случай 1: при $x = 2$

Подставим это значение $x$ в выражения для членов прогрессии:

$b_1 = 2 + 6 = 8$

$b_2 = 2 + 2 = 4$

$b_3 = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2$

Получили последовательность: 8, 4, 2. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Случай 2: при $x = -7$

Подставим это значение $x$ в выражения для членов прогрессии:

$b_1 = -7 + 6 = -1$

$b_2 = -7 + 2 = -5$

$b_3 = 3(-7) - 4 = -21 - 4 = -25$

Получили последовательность: -1, -5, -25. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{-5}{-1} = 5$.

Ответ: при $x=2$ члены прогрессии равны 8, 4, 2; при $x=-7$ члены прогрессии равны -1, -5, -25.

859. Докажите, что если члены последовательности $(b_n)$ отличны от нуля и при любом натуральном $n > 1$ выполняется равенство $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$, то последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией.

По определению, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией, если существует такое число $q \neq 0$ (называемое знаменателем прогрессии), что для любого натурального $n$ выполняется равенство $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Это эквивалентно тому, что отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ является постоянной величиной для всех $n \ge 1$.

Нам даны два условия:

1. Все члены последовательности $(b_n)$ отличны от нуля, то есть $b_n \neq 0$ для любого натурального $n$.
2. Для любого натурального $n > 1$ выполняется равенство $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.

Рассмотрим данное равенство $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$. Оно справедливо для всех $n > 1$, то есть для $n = 2, 3, 4, \dots$.

Поскольку по условию все члены последовательности не равны нулю, мы можем разделить обе части этого равенства на произведение $b_{n-1} \cdot b_n$ (так как при $n>1$ индексы $n$ и $n-1$ являются натуральными числами, и соответствующие члены $b_n$ и $b_{n-1}$ отличны от нуля).

$\frac{b_n^2}{b_{n-1} \cdot b_n} = \frac{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}{b_{n-1} \cdot b_n}$

После сокращения дробей в левой и правой частях получаем:

$\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

Это равенство показывает, что для любого $n > 1$ отношение члена последовательности к предыдущему члену равно отношению следующего члена к текущему. Давайте посмотрим на это для нескольких значений $n$:

• При $n=2$: $\frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2}$
• При $n=3$: $\frac{b_3}{b_2} = \frac{b_4}{b_3}$
• При $n=4$: $\frac{b_4}{b_3} = \frac{b_5}{b_4}$

и так далее. Из этого следует, что отношение любого члена к предыдущему постоянно для всех членов, начиная с первого:

$\frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2} = \frac{b_4}{b_3} = \dots = \frac{b_{k+1}}{b_k} = \dots$

Обозначим это постоянное отношение буквой $q$. То есть, $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$ для любого $n \ge 1$. Поскольку все $b_n \neq 0$, их отношение $q$ также не равно нулю.

Таким образом, мы показали, что существует постоянное, не равное нулю число $q$, такое что для любого $n \ge 1$ выполняется $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Это и есть определение геометрической прогрессии.

Ответ: Утверждение доказано. Из заданных условий следует, что отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ является постоянной величиной для всех $n \ge 1$, что по определению означает, что последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией.

860. Найдите геометрическую прогрессию, содержащую шесть членов, если сумма трёх первых её членов равна 168, а сумма трёх последних равна 21.

Пусть $b_1$ — первый член искомой геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Прогрессия состоит из шести членов: $b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6$.

По условию задачи, сумма трёх первых членов равна 168. Запишем это в виде уравнения, используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$b_1 + b_2 + b_3 = 168$
$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 168$
Вынесем $b_1$ за скобки:
$b_1(1 + q + q^2) = 168$ (1)

Также по условию, сумма трёх последних членов (четвёртого, пятого и шестого) равна 21:
$b_4 + b_5 + b_6 = 21$
Выразим эти члены через $b_1$ и $q$:
$b_1q^3 + b_1q^4 + b_1q^5 = 21$
Вынесем за скобки общий множитель $b_1q^3$:
$b_1q^3(1 + q + q^2) = 21$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} b_1(1 + q + q^2) = 168 \\ b_1q^3(1 + q + q^2) = 21 \end{cases}$
Разделим второе уравнение на первое (это возможно, так как левые части уравнений не равны нулю):
$\frac{b_1q^3(1 + q + q^2)}{b_1(1 + q + q^2)} = \frac{21}{168}$
После сокращения получаем:
$q^3 = \frac{21}{168}$
Сократим дробь на 21:
$q^3 = \frac{1}{8}$
Отсюда находим знаменатель прогрессии $q$:
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Теперь найдём первый член прогрессии $b_1$, подставив найденное значение $q$ в первое уравнение $b_1(1 + q + q^2) = 168$:
$b_1(1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) = 168$
$b_1(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 168$
$b_1(\frac{4}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4}) = 168$
$b_1(\frac{7}{4}) = 168$
$b_1 = 168 \cdot \frac{4}{7}$
$b_1 = 24 \cdot 4 = 96$

Зная первый член $b_1=96$ и знаменатель $q=\frac{1}{2}$, мы можем найти все шесть членов геометрической прогрессии:
$b_1 = 96$
$b_2 = b_1 \cdot q = 96 \cdot \frac{1}{2} = 48$
$b_3 = b_2 \cdot q = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24$
$b_4 = b_3 \cdot q = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$
$b_5 = b_4 \cdot q = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$
$b_6 = b_5 \cdot q = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$

Таким образом, искомая геометрическая прогрессия: 96, 48, 24, 12, 6, 3.
Ответ: 96, 48, 24, 12, 6, 3.

861. Сумма трёх положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Если к этим числам прибавить соответственно 2, 3 и 9, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите данные числа.

Пусть три искомых положительных числа, образующих арифметическую прогрессию, это $a_1$, $a_2$ и $a_3$. Удобно представить члены арифметической прогрессии через средний член $a$ и разность $d$: $a-d$, $a$, $a+d$.

По условию, сумма этих чисел равна 21. Составим уравнение:

$(a-d) + a + (a+d) = 21$

$3a = 21$

$a = 7$

Таким образом, среднее число равно 7, а три числа арифметической прогрессии можно записать как $7-d$, $7$ и $7+d$. По условию, все числа должны быть положительными, то есть $7-d > 0$, откуда $d < 7$.

Далее, к этим числам прибавляют соответственно 2, 3 и 9. Получаем новую последовательность чисел:

Первое число: $(7-d) + 2 = 9-d$

Второе число: $7 + 3 = 10$

Третье число: $(7+d) + 9 = 16+d$

Полученные числа $9-d$, $10$ и $16+d$ образуют геометрическую прогрессию. Основное свойство геометрической прогрессии заключается в том, что квадрат среднего члена равен произведению соседних членов. Запишем это свойство в виде уравнения:

$10^2 = (9-d)(16+d)$

$100 = 144 + 9d - 16d - d^2$

$100 = 144 - 7d - d^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$d^2 + 7d - 44 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 49 + 176 = 225$

$\sqrt{D} = 15$

Найдем корни уравнения:

$d_1 = \frac{-7 + 15}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$d_2 = \frac{-7 - 15}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Теперь рассмотрим оба случая.

1. Если $d=4$:

Исходные числа:

$a_1 = 7-4 = 3$

$a_2 = 7$

$a_3 = 7+4 = 11$

Числа 3, 7, 11. Все они положительные. Их сумма $3+7+11=21$. Проверим, образуют ли новые числа геометрическую прогрессию: $3+2=5$, $7+3=10$, $11+9=20$. Последовательность 5, 10, 20 является геометрической прогрессией со знаменателем 2. Это решение удовлетворяет всем условиям.

2. Если $d=-11$:

Исходные числа:

$a_1 = 7 - (-11) = 18$

$a_2 = 7$

$a_3 = 7 + (-11) = -4$

Числа 18, 7, -4. В этом наборе есть отрицательное число, что противоречит условию задачи ("сумма трёх положительных чисел"). Следовательно, это значение $d$ не подходит.

Единственным решением является первый набор чисел.

Ответ: искомые числа – 3, 7, 11.