Страница 241 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

884. При любом n сумма n первых членов геометрической прогрессии $S_n = 6 \left( \left( -\frac{1}{2} \right)^n - 1 \right)$. Найдите четвёртый член этой прогрессии.

Для нахождения n-го члена прогрессии, обозначаемого $b_n$, зная формулу для суммы первых $n$ членов $S_n$, можно использовать соотношение $b_n = S_n - S_{n-1}$ (для $n \ge 2$). Четвёртый член прогрессии $b_4$ равен разности между суммой первых четырёх членов $S_4$ и суммой первых трёх членов $S_3$.

Нам дана формула для суммы первых $n$ членов: $S_n = 6 \left( \left(-\frac{1}{2}\right)^n - 1 \right)$.

1. Вычислим сумму первых четырёх членов ($S_4$), подставив $n=4$ в заданную формулу:

$S_4 = 6 \left( \left(-\frac{1}{2}\right)^4 - 1 \right) = 6 \left( \frac{1}{16} - 1 \right)$

$S_4 = 6 \left( \frac{1 - 16}{16} \right) = 6 \left( -\frac{15}{16} \right) = \frac{6 \cdot (-15)}{16} = \frac{3 \cdot (-15)}{8} = -\frac{45}{8}$

2. Вычислим сумму первых трёх членов ($S_3$), подставив $n=3$ в формулу:

$S_3 = 6 \left( \left(-\frac{1}{2}\right)^3 - 1 \right) = 6 \left( -\frac{1}{8} - 1 \right)$

$S_3 = 6 \left( \frac{-1 - 8}{8} \right) = 6 \left( -\frac{9}{8} \right) = \frac{6 \cdot (-9)}{8} = \frac{3 \cdot (-9)}{4} = -\frac{27}{4}$

3. Теперь найдём четвёртый член прогрессии $b_4$ как разность $S_4$ и $S_3$:

$b_4 = S_4 - S_3 = -\frac{45}{8} - \left(-\frac{27}{4}\right) = -\frac{45}{8} + \frac{27}{4}$

Приведём дроби к общему знаменателю 8:

$b_4 = -\frac{45}{8} + \frac{27 \cdot 2}{4 \cdot 2} = -\frac{45}{8} + \frac{54}{8} = \frac{54 - 45}{8} = \frac{9}{8}$

Ответ: $\frac{9}{8}$.

885. Найдите сумму квадратов шести первых членов геометрической прогрессии, первый член которой равен $2\sqrt{3}$, а знаменатель равен $\sqrt{3}$.

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_n$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. По условию задачи, нам даны:

Первый член прогрессии: $b_1 = 2\sqrt{3}$

Знаменатель прогрессии: $q = \sqrt{3}$

Требуется найти сумму квадратов первых шести членов этой прогрессии:

$S = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + b_4^2 + b_5^2 + b_6^2$

Рассмотрим последовательность, составленную из квадратов членов исходной прогрессии: $c_n = b_n^2$. Члены этой последовательности $c_1, c_2, c_3, ...$ также образуют геометрическую прогрессию.

Найдем параметры этой новой геометрической прогрессии:

Первый член новой прогрессии $c_1$ равен квадрату первого члена исходной прогрессии:

$c_1 = b_1^2 = (2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$

Знаменатель новой прогрессии $q'$ равен квадрату знаменателя исходной прогрессии:

$q' = q^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

Теперь задача сводится к нахождению суммы первых шести членов новой геометрической прогрессии с первым членом $c_1 = 12$ и знаменателем $q' = 3$.

Используем формулу суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{c_1((q')^n - 1)}{q' - 1}$

Подставляем наши значения: $n=6$, $c_1=12$ и $q'=3$:

$S_6 = \frac{12(3^6 - 1)}{3 - 1}$

Вычислим $3^6$:

$3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729$

Теперь подставим это значение в формулу суммы:

$S_6 = \frac{12(729 - 1)}{2} = \frac{12 \cdot 728}{2}$

Сократим дробь на 2:

$S_6 = 6 \cdot 728$

Выполним умножение:

$6 \cdot 728 = 4368$

Таким образом, сумма квадратов шести первых членов исходной геометрической прогрессии равна 4368.

Ответ: 4368

886. Найдите сумму кубов четырёх первых членов геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_1 = 3$ и $b_2 = -6$.

По условию задачи дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, где первый член $b_1 = 3$ и второй член $b_2 = -6$. Необходимо найти сумму кубов первых четырёх членов этой прогрессии, то есть величину $S = b_1^3 + b_2^3 + b_3^3 + b_4^3$.

1. Нахождение знаменателя прогрессии
Знаменатель геометрической прогрессии $q$ находится как отношение последующего члена к предыдущему:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-6}{3} = -2$.

2. Рассмотрение последовательности кубов членов прогрессии
Рассмотрим последовательность, членами которой являются кубы членов исходной прогрессии: $b_1^3, b_2^3, b_3^3, \dots$.
Покажем, что эта новая последовательность также является геометрической прогрессией. Обозначим её члены как $c_n = b_n^3$.
Общий член исходной прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Тогда общий член новой последовательности: $c_n = (b_1 \cdot q^{n-1})^3 = b_1^3 \cdot (q^3)^{n-1}$.
Это формула n-го члена геометрической прогрессии с первым членом $c_1 = b_1^3$ и знаменателем $q' = q^3$.

3. Вычисление параметров новой прогрессии
Найдем первый член и знаменатель новой прогрессии:
Первый член: $c_1 = b_1^3 = 3^3 = 27$.
Знаменатель: $q' = q^3 = (-2)^3 = -8$.

4. Нахождение суммы кубов
Сумма, которую нам нужно найти, — это сумма первых четырёх членов новой геометрической прогрессии $(c_n)$. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{c_1(q'^n - 1)}{q' - 1}$
Подставим наши значения: $n=4$, $c_1=27$ и $q'=-8$:
$S_4 = \frac{27 \cdot ((-8)^4 - 1)}{-8 - 1} = \frac{27 \cdot (4096 - 1)}{-9}$
$S_4 = \frac{27 \cdot 4095}{-9}$
Сократим дробь на 9:
$S_4 = -3 \cdot 4095$
$S_4 = -12285$

Проверка прямым вычислением:
$b_1 = 3$
$b_2 = -6$
$b_3 = b_2 \cdot q = -6 \cdot (-2) = 12$
$b_4 = b_3 \cdot q = 12 \cdot (-2) = -24$
$S = b_1^3 + b_2^3 + b_3^3 + b_4^3 = 3^3 + (-6)^3 + 12^3 + (-24)^3$
$S = 27 + (-216) + 1728 + (-13824)$
$S = 27 - 216 + 1728 - 13824 = 1755 - 14040 = -12285$.
Результаты совпадают.

Ответ: -12285.

887. Докажите тождество $a^n - 1 = (a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a + 1)$.

Чтобы доказать тождество $a^n - 1 = (a-1)(a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a + 1)$, мы преобразуем его правую часть, раскрыв скобки.

Правая часть выражения: $(a-1)(a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a + 1)$.

Для раскрытия скобок умножим каждый член второго множителя $(a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a + 1)$ сначала на $a$, а затем на $-1$, и сложим результаты.

1. Умножение на $a$:

$a \cdot (a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a + 1) = (a \cdot a^{n-1}) + (a \cdot a^{n-2}) + ... + (a \cdot a) + (a \cdot 1)$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$, получаем:

$a^n + a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a^2 + a$

2. Умножение на $-1$:

$-1 \cdot (a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a + 1) = -a^{n-1} - a^{n-2} - ... - a - 1$

3. Сложение результатов:

Теперь сложим выражения, полученные в шагах 1 и 2:

$(a^n + a^{n-1} + a^{n-2} + ... + a^2 + a) + (-a^{n-1} - a^{n-2} - ... - a - 1)$

Перегруппируем слагаемые для наглядности:

$a^n + (a^{n-1} - a^{n-1}) + (a^{n-2} - a^{n-2}) + ... + (a^2 - a^2) + (a - a) - 1$

Как мы видим, все промежуточные члены взаимно уничтожаются: $a^{n-1}$ и $-a^{n-1}$, $a^{n-2}$ и $-a^{n-2}$, и так далее, вплоть до $a$ и $-a$. Этот процесс называется телескопическим сокращением.

В результате остаются только первый и последний члены: $a^n$ и $-1$.

Таким образом, правая часть тождества упрощается до $a^n - 1$.

Следовательно, мы получили равенство $a^n - 1 = a^n - 1$. Мы показали, что правая часть тождества равна левой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано путем алгебраического преобразования его правой части. При раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых все промежуточные члены взаимно уничтожаются, и в результате остается выражение, идентичное левой части.

888. Докажите тождество $a^{2n+1} + 1 = (a + 1)(a^{2n} - a^{2n-1} + ... + a^2 - a + 1)$.

Для доказательства данного тождества преобразуем его правую часть. Раскроем скобки, умножив многочлен $(a^{2n} - a^{2n-1} + \dots + a^2 - a + 1)$ на $(a+1)$.

Сначала умножим многочлен на $a$:

$a \cdot (a^{2n} - a^{2n-1} + a^{2n-2} - \dots + a^2 - a + 1) = a^{2n+1} - a^{2n} + a^{2n-1} - \dots + a^3 - a^2 + a$

Затем умножим многочлен на $1$:

$1 \cdot (a^{2n} - a^{2n-1} + a^{2n-2} - \dots + a^2 - a + 1) = a^{2n} - a^{2n-1} + a^{2n-2} - \dots + a^2 - a + 1$

Теперь сложим полученные выражения:

$(a+1)(a^{2n} - a^{2n-1} + \dots + 1) = (a^{2n+1} - a^{2n} + a^{2n-1} - \dots - a^2 + a) + (a^{2n} - a^{2n-1} + \dots + a^2 - a + 1)$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями переменной $a$:

$a^{2n+1} + (-a^{2n} + a^{2n}) + (a^{2n-1} - a^{2n-1}) + (-a^{2n-2} + a^{2n-2}) + \dots + (-a^2 + a^2) + (a - a) + 1$

Как видно, все пары слагаемых с одинаковой степенью от $1$ до $2n$ взаимно уничтожаются, так как они равны по модулю и противоположны по знаку. В результате остаются только первый член первого выражения ($a^{2n+1}$) и последний член второго выражения ($1$).

Таким образом, правая часть тождества равна $a^{2n+1} + 1$, что в точности совпадает с левой частью.

Альтернативное доказательство:

Выражение во второй скобке $a^{2n} - a^{2n-1} + \dots - a + 1$ является суммой конечной геометрической прогрессии. Если переписать члены в порядке возрастания степени, получим:

$S = 1 - a + a^2 - \dots + a^{2n} = \sum_{k=0}^{2n} (-a)^k$

Это сумма геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = 1$, знаменатель $q = -a$, а число членов $N = 2n+1$.

Сумма $N$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_N = \frac{b_1(q^N - 1)}{q-1}$.

Подставим наши значения:

$S = \frac{1 \cdot ((-a)^{2n+1} - 1)}{-a - 1}$

Поскольку $2n+1$ — нечетное число, то $(-a)^{2n+1} = -a^{2n+1}$.

$S = \frac{-a^{2n+1} - 1}{-a - 1} = \frac{-(a^{2n+1} + 1)}{-(a+1)} = \frac{a^{2n+1} + 1}{a+1}$

Теперь подставим это выражение в правую часть исходного тождества:

$(a+1) \cdot S = (a+1) \cdot \frac{a^{2n+1} + 1}{a+1} = a^{2n+1} + 1$

Данное преобразование верно при $a+1 \neq 0$, то есть $a \neq -1$. Если $a=-1$, то левая часть равна $(-1)^{2n+1}+1 = -1+1=0$. Правая часть равна $(-1+1)(...)=0$. Тождество выполняется и в этом случае.

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество $a^{2n+1} + 1 = (a+1)(a^{2n} - a^{2n-1} + \dots + a^2 - a + 1)$ является верным, что и требовалось доказать.

889. Найдите количество членов конечной геометрической прогрессии, знаменатель которой $q=3$, последний член $c_n = 162$, а сумма всех членов $S_n = 242$.

Для решения задачи воспользуемся формулами для конечной геометрической прогрессии. По условию нам даны: знаменатель прогрессии $q = 3$, её последний n-й член $c_n = 162$ и сумма всех её членов $S_n = 242$. Наша цель — найти количество членов прогрессии, то есть $n$.

1. Нахождение первого члена прогрессии ($c_1$)

Существует формула для суммы членов геометрической прогрессии, которая связывает сумму $S_n$, первый член $c_1$, последний член $c_n$ и знаменатель $q$:

$S_n = \frac{c_n \cdot q - c_1}{q - 1}$

Подставим в эту формулу известные нам значения:

$242 = \frac{162 \cdot 3 - c_1}{3 - 1}$

Выполним вычисления в знаменателе и числителе дроби:

$242 = \frac{486 - c_1}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно $c_1$. Умножим обе части уравнения на 2:

$242 \cdot 2 = 486 - c_1$

$484 = 486 - c_1$

Отсюда выражаем $c_1$:

$c_1 = 486 - 484$

$c_1 = 2$

2. Нахождение количества членов прогрессии (n)

Теперь, когда мы знаем первый член $c_1=2$, мы можем использовать формулу n-го члена геометрической прогрессии для нахождения $n$:

$c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$

Подставим известные значения $c_n = 162$, $c_1 = 2$ и $q = 3$:

$162 = 2 \cdot 3^{n-1}$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{162}{2} = 3^{n-1}$

$81 = 3^{n-1}$

Чтобы решить это показательное уравнение, представим число 81 в виде степени с основанием 3. Мы знаем, что $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

$3^4 = 3^{n-1}$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$4 = n - 1$

Отсюда находим $n$:

$n = 4 + 1 = 5$

Следовательно, в данной конечной геометрической прогрессии 5 членов.

Ответ: 5

890. Решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} (x + 2)(x - 6) \le (x + 2)(x + 1) + 4, \\ 2(6x - 1) \ge 7(2x - 4); \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{x - 1}{2} - \frac{x - 2}{3} \ge \frac{x - 3}{4} - x, \\ 1 - x > 0,5x - 5. \end{cases} $

1)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:

$(x+2)(x-6) \le (x+2)(x+1) + 4$

Раскроем скобки в обеих частях:

$x^2 - 6x + 2x - 12 \le x^2 + x + 2x + 2 + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4x - 12 \le x^2 + 3x + 6$

Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$x^2 - 4x - x^2 - 3x \le 6 + 12$

$-7x \le 18$

Разделим обе части неравенства на -7. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge -\frac{18}{7}$

$x \ge -2\frac{4}{7}$

Второе неравенство:

$2(6x-1) \ge 7(2x-4)$

Раскроем скобки:

$12x - 2 \ge 14x - 28$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$28 - 2 \ge 14x - 12x$

$26 \ge 2x$

Разделим обе части на 2:

$13 \ge x$, или $x \le 13$

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \ge -2\frac{4}{7}$ и $x \le 13$. Это означает, что $x$ должен быть в промежутке от $-2\frac{4}{7}$ до $13$ включительно.

Ответ: $[-2\frac{4}{7}; 13]$.

2)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:

$\frac{x-1}{2} - \frac{x-2}{3} \ge \frac{x-3}{4} - x$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное чисел 2, 3 и 4, то есть на 12:

$12 \cdot \frac{x-1}{2} - 12 \cdot \frac{x-2}{3} \ge 12 \cdot \frac{x-3}{4} - 12 \cdot x$

$6(x-1) - 4(x-2) \ge 3(x-3) - 12x$

Раскроем скобки:

$6x - 6 - 4x + 8 \ge 3x - 9 - 12x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$2x + 2 \ge -9x - 9$

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$2x + 9x \ge -9 - 2$

$11x \ge -11$

Разделим обе части на 11:

$x \ge -1$

Второе неравенство:

$1 - x > 0,5x - 5$

Перенесем члены с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$1 + 5 > 0,5x + x$

$6 > 1,5x$

Разделим обе части на 1,5:

$\frac{6}{1,5} > x$

$4 > x$, или $x < 4$

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \ge -1$ и $x < 4$. Это означает, что $x$ должен быть в промежутке от -1 включительно до 4 не включительно.

Ответ: $[-1; 4)$.

891. Найдите промежуток возрастания функции:

1) $f(x) = 0,5x^2 - 3x + 4$;

2) $f(x) = -3x^2 - 2x + 4$.

1)

Заданная функция $f(x) = 0,5x^2 - 3x + 4$ является квадратичной. Её график — парабола. Промежуток возрастания можно найти, определив направление ветвей параболы и координату её вершины.

Функция имеет вид $f(x) = ax^2 + bx + c$ с коэффициентами $a = 0,5$, $b = -3$, $c = 4$.

Поскольку коэффициент $a = 0,5 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает на промежутке справа от вершины.

Найдём абсциссу вершины параболы $x_v$ по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
$x_v = -\frac{-3}{2 \cdot 0,5} = -\frac{-3}{1} = 3$.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[x_v; +\infty)$, то есть на промежутке $[3; +\infty)$.

Другой способ — с помощью производной. Функция возрастает, когда её производная $f'(x)$ неотрицательна ($f'(x) \ge 0$).
$f'(x) = (0,5x^2 - 3x + 4)' = 2 \cdot 0,5x - 3 = x - 3$.
Решим неравенство $f'(x) \ge 0$:
$x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$.
Результат подтверждается.

Ответ: $[3; +\infty)$.

2)

Функция $f(x) = -3x^2 - 2x + 4$ также является квадратичной, и её график — парабола.

Коэффициенты функции: $a = -3$, $b = -2$, $c = 4$.

Поскольку коэффициент $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает на промежутке справа от вершины.

Найдём абсциссу вершины параболы $x_v$ по той же формуле:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-2}{-6} = -\frac{1}{3}$.

Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; x_v]$, то есть на промежутке $(-\infty; -\frac{1}{3}]$.

Проверка с помощью производной:
Найдём производную: $f'(x) = (-3x^2 - 2x + 4)' = -6x - 2$.
Функция возрастает при $f'(x) \ge 0$. Решим неравенство:
$-6x - 2 \ge 0 \implies -6x \ge 2 \implies x \le -\frac{2}{6} \implies x \le -\frac{1}{3}$.
Результаты совпадают.

Ответ: $(-\infty; -\frac{1}{3}]$.

892. Постройте график функции:

1) $y = -\frac{6}{x} + 3;$

2) $y = -\frac{6}{x+3};$

3) $y = -\frac{6}{x+3} + 3.$

1) Для построения графика функции $y = -\frac{6}{x} + 3$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Определить базовую функцию. Это гипербола $y = -\frac{6}{x}$. Поскольку коэффициент $k=-6$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях относительно ее асимптот.
2. Определить преобразования. График функции $y = -\frac{6}{x} + 3$ получается из графика базовой функции $y = -\frac{6}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 3 единицы вверх вдоль оси ординат ($Oy$).
3. Найти асимптоты. Вертикальная асимптота не изменяется и остается $x=0$. Горизонтальная асимптота сдвигается на 3 единицы вверх и становится прямой $y=3$.
4. Найти контрольные точки для построения. Рассчитаем координаты нескольких точек:
- если $x = 1$, то $y = -6/1 + 3 = -3$;
- если $x = 2$, то $y = -6/2 + 3 = 0$ (точка пересечения с осью $Ox$);
- если $x = 3$, то $y = -6/3 + 3 = 1$;
- если $x = 6$, то $y = -6/6 + 3 = 2$;
- если $x = -1$, то $y = -6/(-1) + 3 = 9$;
- если $x = -2$, то $y = -6/(-2) + 3 = 6$;
- если $x = -3$, то $y = -6/(-3) + 3 = 5$;
- если $x = -6$, то $y = -6/(-6) + 3 = 4$.
Ответ: График функции представляет собой гиперболу, полученную сдвигом графика $y = -6/x$ на 3 единицы вверх. Вертикальная асимптота — $x=0$, горизонтальная асимптота — $y=3$. Ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях относительно системы координат, смещенной в точку $(0, 3)$. Точки для построения: $(-6, 4), (-3, 5), (-2, 6), (-1, 9)$ и $(1, -3), (2, 0), (3, 1), (6, 2)$.

2) Для построения графика функции $y = -\frac{6}{x+3}$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Базовая функция — гипербола $y = -\frac{6}{x}$ с ветвями во II и IV координатных четвертях.
2. Определить преобразования. График функции $y = -\frac{6}{x+3}$ получается из графика базовой функции $y = -\frac{6}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс ($Ox$).
3. Найти асимптоты. Вертикальная асимптота сдвигается на 3 единицы влево и становится прямой $x=-3$. Горизонтальная асимптота не изменяется и остается $y=0$ (ось $Ox$).
4. Найти контрольные точки для построения. Рассчитаем координаты нескольких точек:
- если $x = 0$, то $y = -6/(0+3) = -2$ (точка пересечения с осью $Oy$);
- если $x = -1$, то $y = -6/(-1+3) = -3$;
- если $x = -2$, то $y = -6/(-2+3) = -6$;
- если $x = 3$, то $y = -6/(3+3) = -1$;
- если $x = -4$, то $y = -6/(-4+3) = 6$;
- если $x = -5$, то $y = -6/(-5+3) = 3$;
- если $x = -6$, то $y = -6/(-6+3) = 2$.
Ответ: График функции представляет собой гиперболу, полученную сдвигом графика $y = -6/x$ на 3 единицы влево. Вертикальная асимптота — $x=-3$, горизонтальная асимптота — $y=0$. Ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях относительно системы координат, смещенной в точку $(-3, 0)$. Точки для построения: $(-6, 2), (-5, 3), (-4, 6)$ и $(-2, -6), (-1, -3), (0, -2), (3, -1)$.

3) Для построения графика функции $y = -\frac{6}{x+3} + 3$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Базовая функция — гипербола $y = -\frac{6}{x}$ с ветвями во II и IV координатных четвертях.
2. Определить преобразования. График данной функции получается из графика $y = -\frac{6}{x}$ двумя последовательными сдвигами: на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$ и на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$.
3. Найти асимптоты. В результате сдвигов центр симметрии гиперболы перемещается из точки $(0,0)$ в точку $(-3, 3)$. Новые асимптоты — прямые $x=-3$ (вертикальная) и $y=3$ (горизонтальная).
4. Найти контрольные точки для построения. Рассчитаем координаты нескольких точек:
- пересечение с осью $Oy$ ($x=0$): $y = -6/(0+3) + 3 = -2+3 = 1$. Точка $(0, 1)$.
- пересечение с осью $Ox$ ($y=0$): $0 = -6/(x+3) + 3 \implies 6/(x+3) = 3 \implies 6 = 3(x+3) \implies x+3=2 \implies x=-1$. Точка $(-1, 0)$.
- если $x = -2$, то $y = -6/(-2+3) + 3 = -6+3 = -3$;
- если $x = -4$, то $y = -6/(-4+3) + 3 = 6+3 = 9$;
- если $x = -5$, то $y = -6/(-5+3) + 3 = 3+3 = 6$;
- если $x = -6$, то $y = -6/(-6+3) + 3 = 2+3 = 5$.
Ответ: График функции представляет собой гиперболу, полученную сдвигом графика $y = -6/x$ на 3 единицы влево и 3 единицы вверх. Вертикальная асимптота — $x=-3$, горизонтальная асимптота — $y=3$. Ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях относительно системы координат с центром в точке $(-3, 3)$. Точки для построения: $(-6, 5), (-5, 6), (-4, 9)$ и $(-2, -3), (-1, 0), (0, 1)$.

893. В первый день двое рабочих изготовили 90 деталей. Во второй день первый рабочий изготовил деталей на 10 % больше, а второй — на 15 % больше, чем в первый день. Всего во второй день они изготовили 101 деталь. Сколько деталей изготовил каждый из них в первый день?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — количество деталей, которое изготовил первый рабочий в первый день, а $y$ — количество деталей, которое изготовил второй рабочий в первый день.

Из условия известно, что в первый день оба рабочих вместе изготовили 90 деталей. Это позволяет нам составить первое уравнение:

$x + y = 90$

Во второй день первый рабочий изготовил на 10% деталей больше, чем в первый. Количество деталей, изготовленных им, составляет $100\% + 10\% = 110\%$ от первоначального, то есть $1.1x$.

Второй рабочий изготовил на 15% деталей больше, чем в первый. Количество деталей, изготовленных им, составляет $100\% + 15\% = 115\%$ от первоначального, то есть $1.15y$.

Всего во второй день они изготовили 101 деталь. На основе этого составим второе уравнение:

$1.1x + 1.15y = 101$

Получаем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 90 \\ 1.1x + 1.15y = 101 \end{cases}$

Для решения системы выразим переменную $x$ из первого уравнения:

$x = 90 - y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$1.1(90 - y) + 1.15y = 101$

Теперь решим это уравнение относительно $y$. Сначала раскроем скобки:

$99 - 1.1y + 1.15y = 101$

Приведем подобные слагаемые:

$0.05y = 101 - 99$

$0.05y = 2$

Найдем $y$:

$y = \frac{2}{0.05} = \frac{200}{5} = 40$

Итак, мы выяснили, что второй рабочий в первый день изготовил 40 деталей. Теперь найдем, сколько деталей изготовил первый рабочий, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 90 - 40 = 50$

Следовательно, в первый день первый рабочий изготовил 50 деталей.

Выполним проверку.

Производительность в первый день: $50 + 40 = 90$ деталей, что соответствует условию.

Производительность во второй день: $50 \cdot 1.1 + 40 \cdot 1.15 = 55 + 46 = 101$ деталь, что также соответствует условию.

Ответ: в первый день первый рабочий изготовил 50 деталей, а второй рабочий — 40 деталей.

894. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(a - b)^2} + \sqrt{16a^2}$, если $a < 0$ и $b > 0$;

2) $\sqrt{(x - y)^2} - \sqrt{9y^2}$, если $x > 0$ и $y < 0$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{(a-b)^2} + \sqrt{16a^2}$ воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{z^2} = |z|$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt{(a-b)^2} + \sqrt{16a^2} = |a-b| + \sqrt{16} \cdot \sqrt{a^2} = |a-b| + 4|a|$.

Теперь необходимо раскрыть модули, учитывая заданные условия: $a < 0$ и $b > 0$.

1. Определим знак выражения под первым модулем, $a-b$. Поскольку $a$ — отрицательное число, а $b$ — положительное, то разность $a-b$ (вычитание положительного числа из отрицательного) всегда будет отрицательной. Следовательно, $a-b < 0$. По определению модуля, если выражение под ним отрицательно, то $|a-b| = -(a-b) = b-a$.

2. Определим знак выражения под вторым модулем, $a$. По условию $a < 0$, поэтому по определению модуля $|a| = -a$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в упрощенную формулу:

$|a-b| + 4|a| = (b-a) + 4(-a) = b - a - 4a = b - 5a$.

Ответ: $b - 5a$.

2) Упростим выражение $\sqrt{(x-y)^2} - \sqrt{9y^2}$ при условиях $x > 0$ и $y < 0$.

Снова используем свойство $\sqrt{z^2} = |z|$:

$\sqrt{(x-y)^2} - \sqrt{9y^2} = |x-y| - \sqrt{9} \cdot \sqrt{y^2} = |x-y| - 3|y|$.

Раскроем модули, используя условия $x > 0$ и $y < 0$.

1. Определим знак выражения $x-y$. Так как $x$ — положительное число, а $y$ — отрицательное, то разность $x-y$ (вычитание отрицательного числа из положительного) всегда будет положительной. Следовательно, $x-y > 0$. По определению модуля, если выражение под ним положительно, то $|x-y| = x-y$.

2. Определим знак выражения $y$. По условию $y < 0$, поэтому $|y| = -y$.

Подставим раскрытые модули в выражение:

$|x-y| - 3|y| = (x-y) - 3(-y) = x - y + 3y = x + 2y$.

Ответ: $x + 2y$.