Номер 889, страница 241 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

889. Найдите количество членов конечной геометрической прогрессии, знаменатель которой $q=3$, последний член $c_n = 162$, а сумма всех членов $S_n = 242$.

Для решения задачи воспользуемся формулами для конечной геометрической прогрессии. По условию нам даны: знаменатель прогрессии $q = 3$, её последний n-й член $c_n = 162$ и сумма всех её членов $S_n = 242$. Наша цель — найти количество членов прогрессии, то есть $n$.

1. Нахождение первого члена прогрессии ($c_1$)

Существует формула для суммы членов геометрической прогрессии, которая связывает сумму $S_n$, первый член $c_1$, последний член $c_n$ и знаменатель $q$:

$S_n = \frac{c_n \cdot q - c_1}{q - 1}$

Подставим в эту формулу известные нам значения:

$242 = \frac{162 \cdot 3 - c_1}{3 - 1}$

Выполним вычисления в знаменателе и числителе дроби:

$242 = \frac{486 - c_1}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно $c_1$. Умножим обе части уравнения на 2:

$242 \cdot 2 = 486 - c_1$

$484 = 486 - c_1$

Отсюда выражаем $c_1$:

$c_1 = 486 - 484$

$c_1 = 2$

2. Нахождение количества членов прогрессии (n)

Теперь, когда мы знаем первый член $c_1=2$, мы можем использовать формулу n-го члена геометрической прогрессии для нахождения $n$:

$c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$

Подставим известные значения $c_n = 162$, $c_1 = 2$ и $q = 3$:

$162 = 2 \cdot 3^{n-1}$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{162}{2} = 3^{n-1}$

$81 = 3^{n-1}$

Чтобы решить это показательное уравнение, представим число 81 в виде степени с основанием 3. Мы знаем, что $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

$3^4 = 3^{n-1}$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$4 = n - 1$

Отсюда находим $n$:

$n = 4 + 1 = 5$

Следовательно, в данной конечной геометрической прогрессии 5 членов.

Ответ: 5