Номер 895, страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

895. На плоскости расположено 100 точек. Известно, что через каждые четыре из них проходит график некоторой квадратичной функции. Докажите, что все 100 точек лежат на графике одной квадратичной функции.

Для решения задачи мы сначала докажем два вспомогательных факта, а затем перейдем к основному доказательству.

1. Все 100 точек имеют различные абсциссы (координаты x).

Допустим обратное: существуют по крайней мере две различные точки, $P_1(x_0, y_1)$ и $P_2(x_0, y_2)$, с одинаковой абсциссой $x_0$. Так как точки различны, их ординаты не совпадают: $y_1 \neq y_2$.

График квадратичной функции задаётся уравнением $y = f(x) = ax^2 + bx + c$. Для любого заданного значения $x$ функция $f(x)$ может принимать только одно значение. Следовательно, никакой график функции не может проходить одновременно через обе точки $P_1$ и $P_2$, так как это означало бы, что $f(x_0)$ должно быть равно и $y_1$, и $y_2$.

Теперь выберем любые две другие точки из набора, $P_3$ и $P_4$. Рассмотрим множество из четырех точек $\{P_1, P_2, P_3, P_4\}$. По условию задачи, через эти четыре точки должен проходить график некоторой квадратичной функции. Но, как мы только что показали, это невозможно. Мы пришли к противоречию.

Следовательно, наше исходное предположение неверно, и все 100 точек должны иметь уникальные абсциссы.

2. Квадратичная функция однозначно определяется тремя точками с различными абсциссами.

Уравнение графика квадратичной функции имеет вид $y = ax^2 + bx + c$. Если нам известны три точки $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ и $(x_3, y_3)$, через которые проходит график, мы можем составить систему из трех линейных уравнений для нахождения коэффициентов $a, b, c$:

$ax_1^2 + bx_1 + c = y_1$
$ax_2^2 + bx_2 + c = y_2$
$ax_3^2 + bx_3 + c = y_3$

Поскольку абсциссы $x_1, x_2, x_3$ различны (согласно пункту 1), определитель матрицы этой системы (известный как определитель Вандермонда) не равен нулю. Это гарантирует, что система имеет единственное решение для $(a, b, c)$. Таким образом, три точки с различными абсциссами однозначно задают график квадратичной функции (это может быть как парабола, если $a \neq 0$, так и прямая, если $a = 0$).

Основное доказательство

Выберем из нашего набора 100 точек любые три, например, $P_1, P_2, P_3$. Как мы доказали, их абсциссы различны, и они однозначно определяют некоторую квадратичную функцию $f(x) = Ax^2 + Bx + C$. Обозначим её график как $\Gamma$.

Теперь нам нужно показать, что все остальные 97 точек также лежат на этом графике $\Gamma$.

Возьмем любую другую точку из набора, скажем $P_k$, где $k \ge 4$. Рассмотрим множество из четырех точек: $\{P_1, P_2, P_3, P_k\}$. По условию задачи, существует квадратичная функция, назовем ее $g_k(x)$, график которой проходит через эти четыре точки.

Это означает, что точки $P_1, P_2$ и $P_3$ лежат как на графике функции $f(x)$, так и на графике функции $g_k(x)$. Но, как мы установили в пункте 2, три точки с различными абсциссами однозначно определяют квадратичную функцию. Отсюда следует, что функции $f(x)$ и $g_k(x)$ должны быть тождественно равны: $f(x) \equiv g_k(x)$.

Поскольку точка $P_k$ по определению лежит на графике $g_k(x)$, а $g_k(x)$ — это та же самая функция, что и $f(x)$, то $P_k$ должна лежать и на графике $\Gamma$ функции $f(x)$.

Так как мы выбрали $P_k$ произвольно из оставшихся 97 точек, этот вывод справедлив для всех них. Следовательно, все 100 точек лежат на одном и том же графике квадратичной функции $\Gamma$, который определяется любыми тремя точками из этого набора.

Ответ: Утверждение задачи доказано.