Номер 896, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

896. Вычислите сумму бесконечной геометрической прогрессии ($b_n$) со знаменателем $q$, если:

1) $b_1 = 24, q = \frac{3}{4}$;

2) $b_1 = -84, q = -\frac{1}{3}$;

3) $b_1 = 63, q = -\frac{1}{6}$;

4) $b_1 = -81, q = -\frac{2}{7}$.

Для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

где $S$ - это сумма прогрессии, $b_1$ - ее первый член, а $q$ - знаменатель. Эта формула справедлива при условии, что модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Во всех пунктах задачи это условие выполняется.

1) Дано: $b_1 = 24$, $q = \frac{3}{4}$.

Так как $|q| = |\frac{3}{4}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

Подставим значения в формулу суммы:

$S = \frac{24}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{24}{\frac{4-3}{4}} = \frac{24}{\frac{1}{4}} = 24 \cdot 4 = 96$.

Ответ: 96

2) Дано: $b_1 = -84$, $q = -\frac{1}{3}$.

Так как $|q| = |-\frac{1}{3}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

Подставим значения в формулу суммы:

$S = \frac{-84}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{-84}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{-84}{\frac{3+1}{3}} = \frac{-84}{\frac{4}{3}} = -84 \cdot \frac{3}{4} = -21 \cdot 3 = -63$.

Ответ: -63

3) Дано: $b_1 = 63$, $q = -\frac{1}{6}$.

Так как $|q| = |-\frac{1}{6}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

Подставим значения в формулу суммы:

$S = \frac{63}{1 - (-\frac{1}{6})} = \frac{63}{1 + \frac{1}{6}} = \frac{63}{\frac{6+1}{6}} = \frac{63}{\frac{7}{6}} = 63 \cdot \frac{6}{7} = 9 \cdot 6 = 54$.

Ответ: 54

4) Дано: $b_1 = -81$, $q = -\frac{2}{7}$.

Так как $|q| = |-\frac{2}{7}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

Подставим значения в формулу суммы:

$S = \frac{-81}{1 - (-\frac{2}{7})} = \frac{-81}{1 + \frac{2}{7}} = \frac{-81}{\frac{7+2}{7}} = \frac{-81}{\frac{9}{7}} = -81 \cdot \frac{7}{9} = -9 \cdot 7 = -63$.

Ответ: -63