Номер 903, страница 247 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

903. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) $\sqrt{\frac{3}{2}}$, $1$, $\sqrt{\frac{2}{3}}$, ...

2) $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$, $\frac{1}{2-\sqrt{2}}$, $\frac{1}{2}$, ...

1) Для того чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, воспользуемся формулой $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Эта формула применима только в случае, если модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Дана прогрессия: $\sqrt{\frac{3}{2}}, 1, \sqrt{\frac{2}{3}}, \dots$

Первый член прогрессии $b_1 = \sqrt{\frac{3}{2}}$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$

Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$:

$|q| = |\sqrt{\frac{2}{3}}| = \sqrt{\frac{2}{3}}$. Так как $2 < 3$, то дробь $\frac{2}{3} < 1$, и, следовательно, $\sqrt{\frac{2}{3}} < 1$. Условие выполняется, значит, сумма существует.

Теперь подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу суммы:

$S = \frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{1 - \sqrt{\frac{2}{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Чтобы разделить дроби, умножим первую на перевернутую вторую:

$S = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{3}{\sqrt{6}-2}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{6}+2)$:

$S = \frac{3(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)} = \frac{3(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6})^2 - 2^2} = \frac{3(\sqrt{6}+2)}{6-4} = \frac{3(\sqrt{6}+2)}{2}$

Ответ: $\frac{3(\sqrt{6}+2)}{2}$

2) Дана прогрессия: $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}, \frac{1}{2-\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \dots$

Для нахождения суммы также воспользуемся формулой $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Сначала упростим первый член прогрессии $b_1$, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$b_1 = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} + 1^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1} = 3+2\sqrt{2}$

Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$. Для этого разделим третий член $b_3$ на второй $b_2$, так как это проще.

$b_2 = \frac{1}{2-\sqrt{2}}$ и $b_3 = \frac{1}{2}$

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2-\sqrt{2}}} = \frac{1}{2} \cdot (2-\sqrt{2}) = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$

Проверим условие $|q| < 1$:

$|q| = |\frac{2-\sqrt{2}}{2}| = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $q \approx \frac{2-1.414}{2} = \frac{0.586}{2} = 0.293$. Так как $0 < 0.293 < 1$, условие выполняется.

Найдем сумму прогрессии, подставив $b_1 = 3+2\sqrt{2}$ и $q = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$ в формулу:

$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{3+2\sqrt{2}}{1 - \frac{2-\sqrt{2}}{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{\frac{2-(2-\sqrt{2})}{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{\frac{2-2+\sqrt{2}}{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Упростим полученное выражение:

$S = (3+2\sqrt{2}) \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{6+4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$S = \frac{(6+4\sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}+4 \cdot (\sqrt{2})^2}{2} = \frac{6\sqrt{2}+8}{2} = \frac{2(3\sqrt{2}+4)}{2} = 4+3\sqrt{2}$

Ответ: $4+3\sqrt{2}$