Номер 898, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

898. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) $10; 1; 0.1; \dots$

2) $0.3; 0.03; 0.003; \dots$

3) $6; -3; 1.5; \dots$

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула применима, если $|q| < 1$.

1) 10; 1; 0,1; ...

Это бесконечная геометрическая прогрессия.

Первый член прогрессии $b_1 = 10$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{1}{10} = 0,1$.

Так как $|q| = |0,1| = 0,1 < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и мы можем найти её сумму.

Подставим значения в формулу суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{10}{1 - 0,1} = \frac{10}{0,9} = \frac{100}{9} = 11 \frac{1}{9}$.

Ответ: $11 \frac{1}{9}$.

2) 0,3; 0,03; 0,003; ...

Это бесконечная геометрическая прогрессия.

Первый член прогрессии $b_1 = 0,3$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{0,03}{0,3} = 0,1$.

Так как $|q| = |0,1| = 0,1 < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и мы можем найти её сумму.

Подставим значения в формулу суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{0,3}{1 - 0,1} = \frac{0,3}{0,9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3) 6; –3; 1,5; ...

Это бесконечная геометрическая прогрессия.

Первый член прогрессии $b_1 = 6$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{-3}{6} = -0,5$.

Так как $|q| = |-0,5| = 0,5 < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и мы можем найти её сумму.

Подставим значения в формулу суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{6}{1 - (-0,5)} = \frac{6}{1 + 0,5} = \frac{6}{1,5} = 4$.

Ответ: $4$.