Вопрос, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 26. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1. Глава 4. Числовые последовательности - страница 246.

Условия.

Что называют суммой бесконечной геометрической прогрессии, модуль знаменателя которой меньше единицы?

Решение 6.

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию $b_1, b_2, b_3, \dots, b_n, \dots$, первый член которой равен $b_1$, а знаменатель равен $q$. По условию, модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Такая прогрессия называется бесконечно убывающей.

Сумма первых $n$ членов этой прогрессии (так называемая частичная сумма) обозначается как $S_n$ и вычисляется по формуле: $$ S_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} $$

Суммой бесконечной геометрической прогрессии называют число, к которому стремится последовательность ее частичных сумм $S_n$ при неограниченном увеличении числа членов ($n \to \infty$). Иными словами, это предел последовательности частичных сумм: $$ S = \lim_{n \to \infty} S_n $$

Чтобы найти этот предел, рассмотрим выражение для $S_n$. Поскольку по условию $|q| < 1$, то при $n \to \infty$ значение $q^n$ стремится к нулю. Например, если $q = \frac{1}{2}$, то последовательность $q^n$ будет выглядеть так: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$, и ее члены становятся все ближе и ближе к нулю.

Таким образом, мы можем вычислить предел: $$ S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{b_1(1 - \lim_{n \to \infty} q^n)}{1-q} = \frac{b_1(1-0)}{1-q} = \frac{b_1}{1-q} $$

Эта формула позволяет найти конечное число, являющееся суммой бесконечного числа слагаемых для сходящейся геометрической прогрессии.

Ответ: Суммой бесконечной геометрической прогрессии, модуль знаменателя которой меньше единицы, называют предел последовательности ее частичных сумм при $n \to \infty$. Эта сумма вычисляется по формуле: $$ S = \frac{b_1}{1-q} $$ где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — ее знаменатель.