Номер 891, страница 241 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

891. Найдите промежуток возрастания функции:

1) $f(x) = 0,5x^2 - 3x + 4$;

2) $f(x) = -3x^2 - 2x + 4$.

1)

Заданная функция $f(x) = 0,5x^2 - 3x + 4$ является квадратичной. Её график — парабола. Промежуток возрастания можно найти, определив направление ветвей параболы и координату её вершины.

Функция имеет вид $f(x) = ax^2 + bx + c$ с коэффициентами $a = 0,5$, $b = -3$, $c = 4$.

Поскольку коэффициент $a = 0,5 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает на промежутке справа от вершины.

Найдём абсциссу вершины параболы $x_v$ по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
$x_v = -\frac{-3}{2 \cdot 0,5} = -\frac{-3}{1} = 3$.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[x_v; +\infty)$, то есть на промежутке $[3; +\infty)$.

Другой способ — с помощью производной. Функция возрастает, когда её производная $f'(x)$ неотрицательна ($f'(x) \ge 0$).
$f'(x) = (0,5x^2 - 3x + 4)' = 2 \cdot 0,5x - 3 = x - 3$.
Решим неравенство $f'(x) \ge 0$:
$x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$.
Результат подтверждается.

Ответ: $[3; +\infty)$.

2)

Функция $f(x) = -3x^2 - 2x + 4$ также является квадратичной, и её график — парабола.

Коэффициенты функции: $a = -3$, $b = -2$, $c = 4$.

Поскольку коэффициент $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает на промежутке справа от вершины.

Найдём абсциссу вершины параболы $x_v$ по той же формуле:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-2}{-6} = -\frac{1}{3}$.

Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; x_v]$, то есть на промежутке $(-\infty; -\frac{1}{3}]$.

Проверка с помощью производной:
Найдём производную: $f'(x) = (-3x^2 - 2x + 4)' = -6x - 2$.
Функция возрастает при $f'(x) \ge 0$. Решим неравенство:
$-6x - 2 \ge 0 \implies -6x \ge 2 \implies x \le -\frac{2}{6} \implies x \le -\frac{1}{3}$.
Результаты совпадают.

Ответ: $(-\infty; -\frac{1}{3}]$.