Номер 892, страница 241 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

892. Постройте график функции:

1) $y = -\frac{6}{x} + 3;$

2) $y = -\frac{6}{x+3};$

3) $y = -\frac{6}{x+3} + 3.$

1) Для построения графика функции $y = -\frac{6}{x} + 3$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Определить базовую функцию. Это гипербола $y = -\frac{6}{x}$. Поскольку коэффициент $k=-6$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях относительно ее асимптот.
2. Определить преобразования. График функции $y = -\frac{6}{x} + 3$ получается из графика базовой функции $y = -\frac{6}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 3 единицы вверх вдоль оси ординат ($Oy$).
3. Найти асимптоты. Вертикальная асимптота не изменяется и остается $x=0$. Горизонтальная асимптота сдвигается на 3 единицы вверх и становится прямой $y=3$.
4. Найти контрольные точки для построения. Рассчитаем координаты нескольких точек:
- если $x = 1$, то $y = -6/1 + 3 = -3$;
- если $x = 2$, то $y = -6/2 + 3 = 0$ (точка пересечения с осью $Ox$);
- если $x = 3$, то $y = -6/3 + 3 = 1$;
- если $x = 6$, то $y = -6/6 + 3 = 2$;
- если $x = -1$, то $y = -6/(-1) + 3 = 9$;
- если $x = -2$, то $y = -6/(-2) + 3 = 6$;
- если $x = -3$, то $y = -6/(-3) + 3 = 5$;
- если $x = -6$, то $y = -6/(-6) + 3 = 4$.
Ответ: График функции представляет собой гиперболу, полученную сдвигом графика $y = -6/x$ на 3 единицы вверх. Вертикальная асимптота — $x=0$, горизонтальная асимптота — $y=3$. Ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях относительно системы координат, смещенной в точку $(0, 3)$. Точки для построения: $(-6, 4), (-3, 5), (-2, 6), (-1, 9)$ и $(1, -3), (2, 0), (3, 1), (6, 2)$.

2) Для построения графика функции $y = -\frac{6}{x+3}$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Базовая функция — гипербола $y = -\frac{6}{x}$ с ветвями во II и IV координатных четвертях.
2. Определить преобразования. График функции $y = -\frac{6}{x+3}$ получается из графика базовой функции $y = -\frac{6}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс ($Ox$).
3. Найти асимптоты. Вертикальная асимптота сдвигается на 3 единицы влево и становится прямой $x=-3$. Горизонтальная асимптота не изменяется и остается $y=0$ (ось $Ox$).
4. Найти контрольные точки для построения. Рассчитаем координаты нескольких точек:
- если $x = 0$, то $y = -6/(0+3) = -2$ (точка пересечения с осью $Oy$);
- если $x = -1$, то $y = -6/(-1+3) = -3$;
- если $x = -2$, то $y = -6/(-2+3) = -6$;
- если $x = 3$, то $y = -6/(3+3) = -1$;
- если $x = -4$, то $y = -6/(-4+3) = 6$;
- если $x = -5$, то $y = -6/(-5+3) = 3$;
- если $x = -6$, то $y = -6/(-6+3) = 2$.
Ответ: График функции представляет собой гиперболу, полученную сдвигом графика $y = -6/x$ на 3 единицы влево. Вертикальная асимптота — $x=-3$, горизонтальная асимптота — $y=0$. Ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях относительно системы координат, смещенной в точку $(-3, 0)$. Точки для построения: $(-6, 2), (-5, 3), (-4, 6)$ и $(-2, -6), (-1, -3), (0, -2), (3, -1)$.

3) Для построения графика функции $y = -\frac{6}{x+3} + 3$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Базовая функция — гипербола $y = -\frac{6}{x}$ с ветвями во II и IV координатных четвертях.
2. Определить преобразования. График данной функции получается из графика $y = -\frac{6}{x}$ двумя последовательными сдвигами: на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$ и на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$.
3. Найти асимптоты. В результате сдвигов центр симметрии гиперболы перемещается из точки $(0,0)$ в точку $(-3, 3)$. Новые асимптоты — прямые $x=-3$ (вертикальная) и $y=3$ (горизонтальная).
4. Найти контрольные точки для построения. Рассчитаем координаты нескольких точек:
- пересечение с осью $Oy$ ($x=0$): $y = -6/(0+3) + 3 = -2+3 = 1$. Точка $(0, 1)$.
- пересечение с осью $Ox$ ($y=0$): $0 = -6/(x+3) + 3 \implies 6/(x+3) = 3 \implies 6 = 3(x+3) \implies x+3=2 \implies x=-1$. Точка $(-1, 0)$.
- если $x = -2$, то $y = -6/(-2+3) + 3 = -6+3 = -3$;
- если $x = -4$, то $y = -6/(-4+3) + 3 = 6+3 = 9$;
- если $x = -5$, то $y = -6/(-5+3) + 3 = 3+3 = 6$;
- если $x = -6$, то $y = -6/(-6+3) + 3 = 2+3 = 5$.
Ответ: График функции представляет собой гиперболу, полученную сдвигом графика $y = -6/x$ на 3 единицы влево и 3 единицы вверх. Вертикальная асимптота — $x=-3$, горизонтальная асимптота — $y=3$. Ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях относительно системы координат с центром в точке $(-3, 3)$. Точки для построения: $(-6, 5), (-5, 6), (-4, 9)$ и $(-2, -3), (-1, 0), (0, 1)$.