Номер 888, страница 241 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

888. Докажите тождество $a^{2n+1} + 1 = (a + 1)(a^{2n} - a^{2n-1} + ... + a^2 - a + 1)$.

Для доказательства данного тождества преобразуем его правую часть. Раскроем скобки, умножив многочлен $(a^{2n} - a^{2n-1} + \dots + a^2 - a + 1)$ на $(a+1)$.

Сначала умножим многочлен на $a$:

$a \cdot (a^{2n} - a^{2n-1} + a^{2n-2} - \dots + a^2 - a + 1) = a^{2n+1} - a^{2n} + a^{2n-1} - \dots + a^3 - a^2 + a$

Затем умножим многочлен на $1$:

$1 \cdot (a^{2n} - a^{2n-1} + a^{2n-2} - \dots + a^2 - a + 1) = a^{2n} - a^{2n-1} + a^{2n-2} - \dots + a^2 - a + 1$

Теперь сложим полученные выражения:

$(a+1)(a^{2n} - a^{2n-1} + \dots + 1) = (a^{2n+1} - a^{2n} + a^{2n-1} - \dots - a^2 + a) + (a^{2n} - a^{2n-1} + \dots + a^2 - a + 1)$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями переменной $a$:

$a^{2n+1} + (-a^{2n} + a^{2n}) + (a^{2n-1} - a^{2n-1}) + (-a^{2n-2} + a^{2n-2}) + \dots + (-a^2 + a^2) + (a - a) + 1$

Как видно, все пары слагаемых с одинаковой степенью от $1$ до $2n$ взаимно уничтожаются, так как они равны по модулю и противоположны по знаку. В результате остаются только первый член первого выражения ($a^{2n+1}$) и последний член второго выражения ($1$).

Таким образом, правая часть тождества равна $a^{2n+1} + 1$, что в точности совпадает с левой частью.

Альтернативное доказательство:

Выражение во второй скобке $a^{2n} - a^{2n-1} + \dots - a + 1$ является суммой конечной геометрической прогрессии. Если переписать члены в порядке возрастания степени, получим:

$S = 1 - a + a^2 - \dots + a^{2n} = \sum_{k=0}^{2n} (-a)^k$

Это сумма геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = 1$, знаменатель $q = -a$, а число членов $N = 2n+1$.

Сумма $N$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_N = \frac{b_1(q^N - 1)}{q-1}$.

Подставим наши значения:

$S = \frac{1 \cdot ((-a)^{2n+1} - 1)}{-a - 1}$

Поскольку $2n+1$ — нечетное число, то $(-a)^{2n+1} = -a^{2n+1}$.

$S = \frac{-a^{2n+1} - 1}{-a - 1} = \frac{-(a^{2n+1} + 1)}{-(a+1)} = \frac{a^{2n+1} + 1}{a+1}$

Теперь подставим это выражение в правую часть исходного тождества:

$(a+1) \cdot S = (a+1) \cdot \frac{a^{2n+1} + 1}{a+1} = a^{2n+1} + 1$

Данное преобразование верно при $a+1 \neq 0$, то есть $a \neq -1$. Если $a=-1$, то левая часть равна $(-1)^{2n+1}+1 = -1+1=0$. Правая часть равна $(-1+1)(...)=0$. Тождество выполняется и в этом случае.

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество $a^{2n+1} + 1 = (a+1)(a^{2n} - a^{2n-1} + \dots + a^2 - a + 1)$ является верным, что и требовалось доказать.